AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

Surfaces déreloppables. — Intégration de l'équation des surfaces développables. — Surfaces réglées. — Équation de la corde vibrante.

DES SURFACES DÉVELOPPABLES.

682. On nomme surfaces développables celles qui „ étant supposées flexibles et inextensibles peuvent s'appliquer sur un plan sans déchirure ni duplicature. Teller sont les surfaces cylindriques et les surfaces coniques.

\Jj j ç->m Toute surface développable peut être considérée (n° 6*)

! ' comme le lieu des tangentes à une certaine courbe, nom-

mée arête de rebroussement de la surface. Il n'y a d'exception que pour le cône, où l'arête de rebroussement se réduit à un point, et pour le cylindre, où cette courbe passe à l'infini; mais comme nous avons déjà examiné ces cas particuliers, nous en ferons abstraction dans ce qui suit.

683, Soient

les équations de l'arête de rebroussement. Les équations de sa tangente en un point (a, 6, y) seront

En éliminant y entre ces équations, on aura l'équation de la surface développable. Mais, au lieu d'opérer cette élimination qui ne peut, se faire qu'en particularisant la forme des fonction s y* et ç, nous allons chercher une équation aux dérivées partielles, indépendante de ces fonctions, et qui exprimera une propriété commune à toutes les surfaces développantes.

CÏNQUÀNTE-TKOISIÈME LEÇON. 2l3

684. Les équations (2) déterminent z et y quand x et y sont connus. On peut donc considérer £ et y comme des fonctions de x et de y. En difle rendant, tour à tour, ces équations par rapport à x et à yy on aura

ou bien , en simplifiant,

En éliminant, entre ces quatre équations (s — y) -j^>

(z — y) -~- et y, il restera une relation entre p vl q^ j

(5) Ç=WP)>

écjuation du premier ordre qui convient à toutes les surfaces développa blés, mais dans laquelle il entre encore une fonction arbitraire.

685. Ce résultat s'accorde avec ce que nous avons trouvé pour les surfaces cylindriques dont l'équation aux différentielles partielles est

ap -hù(j = i.

Il semble qu'il y ait exception pour les surfaces coniques dont l'équation aux différentiel les partielles est

mais si l'on prend l'équation en quantités finies

on voit que z — c étant une fonction homogène du premier degré Aej — b et de x — a, p ei q seront des fonctions homogènes, et du degré o, des mêmes différences (I, 177)*, on aura donc

et, en éliminant —on obtiendra une relation entre p

et q. Cette relation dépendra de la fonction cp, tandis que, dans l'équation des surfaces cylindriques, la relation entre p et q ne dépend que des constantes qui définissent la direction des génératrices.

686. L'élimination indiquée n° 684 peut se faire comme il suit. En ajoutant la première et la troisième équation du système (4)9 respectivement multipliées par cj"(7) et — f"(y)i on aura

(5) f(7) = PU'd) ?"(7) - ?'(7)/"(7)]-

La seconde et la quatrième équation traitées de la même manière donnent

(6) /"(7) = 1 Wit)/"('t) ~/'(7 )/(?)]•

Il ne restera donc plus qu'à éliminer y entre les deux dernières équations.