Soit

CINQUANTE-TROISIÈME LEÇON. 2 fi>

l'équation aux dérivées partielles , du premier ordre, résultant de l'élimination précédente. Posons

dp diz

dx dx*

dp __ dq __ diz __ dy dx ~~ dxdy ~~ '

dq __ diz __ dy ~ dy*~

En différentiant l'équation (7), successivement par rapport à x et à y, nous aurons

s = rf (/>),

d'où, en éliminant <{/(/?),

équation qui ne renferme aucune trace des fonctions particulières f et cp. C'est l'équation aux dérivées partielles, du second ordre, des surfaces développables.

INTÉGRATION DE l'ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

DES SURFACES DÉVELOPPABLES.

688. Pour effectuer cette intégration, nous nous appuierons sur une proposition générale que nous allons d'abord établir.

Soient u et v deux fonctions des mêmes variables indépendantes x,y, z : si l'une d'elles, v, se réduit à une Jonction de l'autre,

les dérivées partielles de u et v seront proportionnelles, et réciproquement.

La première partie s'établit en différentiant l'identité (1) :

dv .... du dv ... .du

2i6 cours d'analyse.

Réciproquement, si Ton a

dv ^ du dv __ * du dv , du

as-xs' 5^-x^' ^-x^'

^. étant une fonction quelconque de #, ^, 3, il suffil d'ajouter membre à membre les égalités précédentes, après les avoir respectivement multipliées par dx, dy, dz, pour trouver la relation

dv = \du,

dv et du étant des différentielles totales : il en résulte (533 et 534) que v se réduit à une fonction de la seule variable u.