Cela posé, l'équation des surfaqes développables

(2) rt — s* nous donne

r $ dp dq dp dq

s t dx ' dx ' ' dy ' dy *

donc, en vertu de la proposition établie n° 688, q est une fonction de p et Ton peut écrire, comme intégrale première de l'équation (2),

C'est une équation non linéaire entre les dérivées partielles du premier ordre de 5, et nous sommes conduits (660) à chercher une intégrale des équations

dx dy dz __ dp __ dq m

on obtient une intégrale en égalant/? à une constante a, et l'on en déduit, eu égard à la relation (3),

q = ty(a)) dz = adx -hty(a)dy;

intégrant cette différentielle et désignant par b une nouvelle constante, on trouve une intégrale complète

CINQUANTE-TROISIÈME LBÇON. 21 7

de l'équation (3),

(4) -3 = aj + /t)/(a) + 6

Pour en déduire l'intégrale générale de l'équation (3), et, par suite, de l'équation (2), il faut (n° 661 ) remplacer b par une fonction arbitraire F(/7) et éliminer a entre les équations

(5) z = ax-hyty (a) -h F (a),

(6) 0= x-hyty (a)-hF'(a).

L'intégrale générale renferme deux fonctions arbitraires ; elle représente la surface enveloppe des plans (5). Cette surface est le lieu des droites définies par les équations (5) et (6). Une quelconque de ces droites, D? rencontre la droite infiniment voisine D', si Ton néglige des infiniment petits d'ordre supérieur au premier. Les équations de D' se déduisent des équations ( 5) et (6) en y remplaçant a par a-\- da\ si, des équations ainsi formées on retranche les équations dont elles dérivent, et si l'on divise par da, on aura, en négligeant les quantités infiniment petites,

o = x +/f(a) -h F'(«), o =yY(a) ■+- F"(a);

la première équation coïncide avec l'équation (6), et les droites D, D' se coupent en un point dont les coordonnées sont

^=aV"ûF V ;

le lieu de ce point est l'arête de rebroussement de la surface, arête dont les tangentes sont les génératrices D.