Différentions l'équation

sc = az -\- et,

tour à tour par rapport à a: et ky, en regardant a et a comme des fonctions de ces deux variables : nous aurons

. . da dx

(2) 1= ap^-z- h— >

N * cix dx

da d*

(3) o-flfl-f-2- h -=-•

v * dy dy

Ajoutons ces équations respectivement multipliées par —

da ,

et — : en observant que

il* tht da da

dx dy dy dx

puisque a et a sont fonctions l'un de l'autre, comme étant fonctions du même paramètre y (n° 688), nous aurons

. /x da ! da da

(4) Ty^YTy-lïû

En différeniiant l'équation y = bz -+• 6, et remarquant

dû db -H « dn da ,

que — > — sont proportionnelles a --) v> on aura de J dx dy * r dx dy

même

,. f/tf . ( da da\

{5) ^ = HÎ^/'^)'

S,i. 1 da da ,

1 maintenant on élimine le rapport — : — entre les

usr dx dy

équations (4) et (5), mises sous la forme

da da

da da

il viendra

(1 — ap) (1 — bq) — abpq = o,

(6) ap -h bq = i,

équation différentielle du premier ordre, renfermant seulement deux fonctions, a et 6, de l'indéterminée 7. En ayant égard à cette relation, les équations (4) et (5) peuvent s'écrire

, du da

b T + a zr — °»

dy dr.

& ~ -l-fl — =0.

692. Cherchons maintenant l'équation aux dérivées partielles du second ordre. En différentiant, tour à tour, l'équation

ap -+- bq =i par rapport à x et y, nous aurons

. da db

ar ■+ bi ' + P di* ■« 'di= °>

. da db

as -f- bt -f- p -, — y- q — = o.

En ajoutant ces équations multipliées, la première par a, la seconde par fe, et en a^ant égard aux équations (7), nous aurons

a*r -4- labs -+■ b%t = o, ou, en posant , = c,

(8) c2r-t-2cs-h * = o,

équation du second ordre ne renfermant plus qu'une seule fonction arbitraire c.