ÉQUATION DE LA CORDB VIBRANTE

694. On démontre en Mécanique que le mouvement des différents points d'une corde vibrante, fixée à ses deux extrémités, .est représenté par l'équation aux dérivées partielles du second ordre

M dP=aldïl

MP = m, AP = x sont les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la corde, l'origine étant l'extrémité A; y désigne le temps.

Pour intégrer l'équation (1), prenons deux nouvelles variables a et 6, liées aux variables x et y par les équations

(2) a = x -h ay9 6 = je — ajr.

Si de ces équations on lirait les valeurs de x et de j" en ce et 6 , et qu'on les portât dans la fonction cherchée m,

m cours d'analyse.

cette dernière deviendrait une fonction explicite de a et de 6. On peut donc considérer u comme une fonction de a et de 6. On aura alors, à cause des équations (2),

du du du dx da. dt

dx* dm2 dadG d&

On trouvera de même

"df ~~a \dtf ~~ * dïdï + ~d¥ j '

En portant ces valeurs dans l'équation (j), on aura, après les réductions,

(3) dïïï=°-

Cette équation est facile à intégrer. Elle peut s'écrire

du

donc -ne dépend pas de a, et Ton a

de

u désignant une fonction arbitraire. On en déduit

u z= j ta (6)*f6 -f- 9 (a) 9

et, par conséquent, en représentant par <J/ (S) l'intégrale Iu(6)d6, <p désignant encore une fonction arbitraire,

tt = y(a) -h + (6),

c'est-à-dire

(4) « = j(.r 4-*j) +$(x—ajr).

Telle est l'intégrale générale de l'équation (i); on peut d'ailleurs la vérifier par la diflférentiation.

695. L'intégrale générale contient deux fonctions arbitraires cp et tf* qui se déterminent par deux conditions distinctes. Ordinairement on suppose connues l'ordonnée//

et sa dérivée — pour tous les points de la corde, à l'ori-

ginedu temps, c'est-à-dire pour^ = o. Alors l'ordonnée, «,

et la vitesse verticale — de chaque point sont des fonc-

tions données de x. Posons

u =/{x) , — =/, (.r) , pour y = o.

On aura, en faisant jr=o dans l'équation (4), et dans sa dérivée par rapport à y,

De cette dernière on déduit

F (x) étant une fonction connue, et C une constante arbitraire* Par conséquent on a

v(*)=î[/w-Fw-c];

d'où

u = - \f(x 4- ay) -+-f(x — ay)-h ¥(x -+- ay) — F(x — ay) .

La valeur de u est complètement déterminée. Comme on devait s'y attendre, la constante C, introduite dans le cours du calcul, a disparu d'elle-même.

EXERCICES

i . Discuter la surface représentée par l'équation

Solution : Surface engendrée par une droite assujettie à rencontrer une droite donnée et deux circonférences données. 2. Intégrer l'équation

dtz y dz __

dcdy i — y% dv

Solution : z = <?(j)-H ty{x) /i -71-ûx(i-/î).