COURBURE DES SECTIONS NORMALES

700. La formule (3) du n° 696 permet de déterminer le rayon de courbure d'une section normale quelconque en un point d'une surface ; il suffit d'y supposer cosO = ±: i , puisque le plan osculateur à la section considérée est normal à la surface. Mais, afin d'établir plus simplement les lois découvertes par Euler, et suivant lesquelles varie la courbure des diverses sections normales menées par un point de la surface, nous prendrons ce point (#, y, s) pour origine des coordonnées, et pour plan des xy le plan tangent à la surface au même point. L'axe des z sera la normale, et Ton aura/? = o, q = o. En désignant par <p Fig. 119. l'angle que la tangente OT à la

section normale considérée fait avec l'axe des x, on a

dx dy .

w=cos*' Han+

D'ailleurs, on a cos8 =±11, selon que le rayon de courbure est dirigé dans le sens de l'axe des ,5 ou dans le sens opposé. On aura donc

" ~~ r cos2cp -h 1$ sin<p coscp -+- 1 siu2^*

mais on peut supprimer le double signe et écrire simplement

r r cos2cp -+- 4xs sincp cos<p -+- fsin'cp

pourvu que l'on convienne de porter la valeur absolue du rayon sur l'axe des z dans le. sens des z positifs si le dénominateur est positif, et dans le sens opposé si ce dénominateur est négatif.