SECTIONS PRINCIPALES

701 . Si le plan normal tourne autour de Taxe des z> le rayon p variera en même temps que l'angle <p. Proposonsnous de trouver la plus grande et la plus petite valeur de ce rayon. Comme ces valeurs correspondent au minimum et au maximum du dénominateur dans la formule (2), il faudra égaler à o la dérivée de ce dénominateur; on aura

(f — /-Jotsiiif cosy 4-**(cosaf — sin'y ) := o,

ou, ce qui revient au même,

(3) Jtang'? -h(r — /) tangy — s = o.

Cette équation donne pour tangcp des valeurs réelles,

dont le produit est égal à — 1 .

Comme d'ailleurs, en faisant varier l'angle ç de o à tt, on obtient tous les plans normaux qui passent par le point O, il suffira de considérer les deux angles plus petits que 1800 qui correspondent aux deux racines de l'équation. L'un étant désigné par a,

T autre sera nécessairement — h a.

Par conséquent, si l'on trace sur le plan des xy deux

droites OH et OK, faisant avec Ox les angles a et a -t- -»

les sections normales situées daus les plans zOH, zOKy

230 COURS D^NALYSE.

correspondront aux rayons de courbure maximum et minimum. Eu effet, la dérivée du second ordre de - est

2 (t — r) (cosaf — sin2<p) — 8fsîny cosy,

et cette expression prend des valeurs égales et de signes contraires quand on y remplace <y par a et par et -\ — • Remarquons qu'il s'agit ici d'un maximum et d'un minimum analytiques, en sorte que si les deux valeurs de-?

correspondantes à a et a H — étaient de signes contraires,

celle qui serait un minimum négatif pourrait être un maximum en valeur absolue.

Les droites OH et OK, faisant avec Taxe Ox des angles

don t la différence est -> sont perpendiculaires entre elles.

Donc les plans zOH et zOK, qui déterminent sur la surface deux courbes planes à courbure maximum ou minimum, sont perpendiculaires entre eux. On doune aux sections faites par ces plans le nom de sections principales.