OO

r(i)= | e-*dx = u

i4 cours d'analyse.

en posant e~x = y, ou a

. i . tir *=l-j dx=: — «

donc

ÏW-r (';)"*•

INTÉGRALES QUI SE DÉDUISENT d'uNE INTÉGRALE CONNUE, PAR LA DIFFÉRENTIATION SOUS LE SIGNE.

464. La différent! ati on sous le signe permet de déduire d'une intégrale défi nie connue de nouvelles intégrales. En yoici quelques exemples :

Difleren lions n fois par rapport à a : il en résulte

00 î . 2 . 3 . . . /i . i 3 5 ?.n — i î *r ■ dx =z —.—.—... „ . • — 9

. (^-Hai^1 2 % 2 2 «-t-j 2

et, par suite,

î .3.5. . . [in — i) ir

r* dx __

2tf

e^'dx = — • o fl

Si Ton différence les deux membres de cette égalité n — 1 fois de suite par rapport à a, on aura

:xn' ' </r = î . 2 . 3 . • .(« — 1) a~n,

TEEHTE-HOITIEME LEÇON. l5

oq bien

er** x*~x dx z=l — — -

465. Ce dernier résultat subsiste quand on remplace la quantité réelle a par l'expression imaginaire a -+- b ^/— i, dans laquelle la partie réelle a est positive.

En effet, on a

{*+*>/-*)* dx = -+- C

— *-«*(cos bx — J — i sin bx)

a -f- b ^ — i et, par conséquent,

Si maintenant on différentie cette égalité n — i fois par rapport à a, on aura

(3) / e-U+V^o*-1 dx = -. -n '■ ,

ce qui est la dernière formule du n° 464 étendue au cas plus général où a représente une expression imaginaire a -h b \/ — i .

4(56. Cette formule fournira d'autres intégrales, au moyen de la séparation des quantités réelles et des imaginaires. Posons

a -4- b \J — i = p (cos 0 -f- y — i sin ô),

c'est-à-Jire

P=i ya'-h b7, cosO = -- - > sin 8 =

F équation (3) devient

I e~~*s cos bx — ^ — i sin bx) x"- ' dx Jo

z=l — ~ (cos/*ô — y — isni/2 0),

équation qui se partage en deux autres :

Jf*30 Tin) c-axjcit-t sin lx fix — sin /zO.

I ^-««x"""1 cos bx dx = — — cos/7 9 .

Notre démonstration suppose que n est un nombre entier; mais ces formules subsistent quel que soit n.

INTÉGRALES DÉDUITES d'aUTRES IN1ÉGRALES} AU MOYEN DE

l'intégration SOUS LE SIGNE.

•467. L'intégration des intégrales définies, par rapport aux constantes qu'elles renferment, fournit encore de nouvelles intégrales. Soit, par exemple, l'intégrale

e~ax cosbxdx =

qui se déduit de la dernière formule (466) en faisant n== i . Il en résulte, c étant une constante moindre que a,

I da I e~ax cosbxdx = I ,-•

Je Jo Je <*+**

Mais (4oo),

' da I c~ax cos bxdr = f dx I e~ar cosbxda c Jo Jo Je

-ex f.—ax

cos bxdxi

d'un autre côté,

ra ada __\ «'-h/;' '. (V "

f2-f-Z>2 2 c7-hb* Donc

TBEff TE HUITIEME LEÇON. 1J