VARIATION DE LA COURBURE DES SECTIONS NORMALES

702. Prenons maintenant pour plans des xz et des yz les plans des sections principales. Les valeurs de cp correspondant au maximum et au minimum du rayon de cour-

bure devront être oet- Or, l'équation

s tang*q> H- (r — t) tangy — 5 = 0

ne donnera pour tang <y les valeurs o et 00 que si s = o. Par conséquent, la valeur de p prendra la forme plus

simple

" rcos'<p -+- f &in3f

et Ton déduira de cette expression les deux rayons de courbure principaux pf et p", en faisant, tour à tour, cp = o

et <y = -> ce qui donnera

Ainsi, les dérivées partielles rett représentent les deux courbures principales au point O.

703. Les valeurs de pf et de p" peuvent être introduites dans l'expression générale de la courbure. On a

- = rcos2? ■+■ fsin1?; P donc

(a) 1 = jt cos*? -*- ~ sin>?,

formule qui donne la courbure d'une section déterminée par un plan normal faisant, avec la section principale zOx, un angle (f.

De là les conséquences suivantes. En premier lieu, l'expression ( i ) ne change pas quand on met à la place de <f son supplément : donc deux sections normales également inclinées sur une section principale ont des rayons de courbure égaux et de même signe.

Si l'on désigne par pt le rayon de courbure d'une section normale perpendiculaire à celle qui fait avec le plan principal zOx l'angle y, on aura

(3) ^ = ^-sm'f-i- ^cos'f,

et, en ajoutant les équations (2) et (3), il viendra

Donc la somme des courbures de deux sections normales perpendiculaires entre elles est constante.