Nous allons maintenant discuter la valeur gêné

raie de p en nous servant de la formule , . i cos'o . sin'ç

Supposons d'abord p' et p" tous deux positifs, et p'^p". Dans ce cas, la formule (i) donne pour p une valeur toujours positive. Par conséquent, toutes les sections normales sont situées au-dessus du plan tangent, et la surface est convexe autour du point O. Si p' et p" étaient négatifs, la surface serait encore convexe, mais située au-dessous du plan tangent.

En mettant l'équation (i) sous la forme

(*> \ = 7 - (7 - 7) sin'"

on voit que - augmente depuis -, jusqu'à -^ quand cp croît de o à -, et que - décroit depuis — jusqu'à -, ? quand <p

augmente de - à n.

Dans le cas particulier où p' = pn, la formule (2)

donne

P ~ P * ou p = pf quel que soit cp. Toutes les sections normales au point O ont donc la même courbure. On dit alors que ce point est un ombilic,

705. Supposons maintenant que pf et p" aient des signes contraires et que pn soit négatif. En mettant les signes en évidence dans l'équation (1), nous aurons

,,. 1 cos*? sîna®

Pour y = o, on a p = p'. L'angle <j croissant de o à la

valeur S donnée par l'équation

tang'€ = 4,

p croît depuis p' jusqu'à l'infini. Au delà de <f = 6, p devient négatif et décroît jusqu'à p", valeur qui correspond

à <p= -. Les valeurs de p se reproduisent ensuite dans

Tordre inverse.

Dans ce cas, la surface est en partie au-dessus du plan tangent, et en partie au-dessous.

DÉTERMINATION DES OMBILICS.

706. Pour trouver les ombilics d'une surface, il faut chercher les points où le rayon de courbure des sections normales a la même valeur, quel que soit le plan mené par la normale.

Reprenons la formule (i) du n° 700 en y supposant cos0= i, et en remplaçant dl% par dx*-h dy% -+- dz% : nous aurons

dx \d&/

Désignons par m le rapport — des cosinus des

angles que la tangente à la courbe au point considéré fait avec l'axe des x et des y. Comme

dz~pdx-+-qdy,

et la formule (i) pourra s'écrire

Vi4-/j*-fr-ya[i 4- «M-jp 4* 9mY\ r -4- ism -j- tm1 ou bien