tt

et, en intégrant,

a et b étant des constantes arbitraires. En portant les valeurs de X et de Y, tirées de ces équations, dans le système (4)9 il vient

v/il* - (a *)> — [b—yf

__ (a — aQrfr-f- (6 — y)dy

et, en intégrant de nouveau,

z — c = v^R2— (a — x)2— (6— yf ,

équation d'une sphère. Ainsi, la sphère est la seule surface dont tous les points soient des ombilics.

THÉORIE DE l'iNDICÀTMCE.

709. La courbure des surfaces peut être présentée sous un autre point de vue, qui donne une idée plus nette de la manière dont varient les rayons de courbure des sections normales autour d'un même point.

CINQUÀMTE-CINQUIÈME LEÇON. iZ^

Prenons toujours pour plan des xy le plan tangent au point 0, et pour axe des z la normale en ce point.

Si l'on coupe la surface par un plan parallèle au plan tangent, et infiniment voisin de ce plan , la section différera infiniment peu d'une courbe du second degré, en ne considérant que la partie de la section infiniment voisine du point O. En d'autres termes, une courbe semblable à la section faite par un plan parallèle au plan tangent, à une distance h, tend, à mesure que h diminue, vers une section conique, le rapport de similitude étant — -

En effet, si l'on développe l'ordonnée z de la surface par la série de Maclaurin, on aura

z = z9 -4- px -+- qy -h - rx1 -j- s xy H ty* -4- . . . .

Mais z0, fi </, qui représentent les valeurs de s, — * -y-

quand on fait simultanément x = o, y = o, sont nulles d'après le choix des axes. Donc, on a

z = - rx* -+- s xjr ■+- - ey* -h w,

6» désignant une somme de termes dont le degré, par rapport à x et à y, est supérieur au second. Si maintenant on remplace z par la constante 00' = /*, on aura l'équation de la section A'M'B', et si l'on fait h trèspetite, la quantité g> devient négligeable comparativement aux termes qui la précèdent. Par conséquent, on a

(i) rx* H- is xy -+- ty2— ihy

équation d'une conique infiniment petite dont le centre est au point O.