C'est ce qu'il est facile de vérifier par le calcul
Soient
les équations de deux normales. Si le point (x,y>, z) coïncide avec l'origine, et que le point ( x\y\ z1) soit infiniment voisin, les équations (i) se réduisent à
et les deux autres donnent, au point commun,
— dx -f- dp(Z — dz) — — dx -f Zrdx z= o,
— dy -h dq (Z — dz) = — dy -+- Ztdy == o,
ou bien
dx (Zr — i) = o,
dy(Zt — i) zir o.
On ne peut pas supposer dx et dy nulles à la fois, mais on peut satisfaire à ces deux équations, soit en posant
(3) dx=io9 Z — -, ou bien
(4) dy=-o, Z = i.
Dans le premier cas, puisque dx — o, la tangente coïncide avec Taxe des y, et Z = - est le rayon de courbure principal. Même conclusion à tirer du second système.
723. Il faut bien se garder de croire que les points de rencontre des normales soient les centres des cercles osculateurs des lignes de courbure, car ces normales se
CINQUANTE-SIXIÈME LEÇON. 25l
coupent consécutivement et sont tangentes à une même courbe, propriété qui n'appartient jamais aux normales menées par les centres de courbure d'une courbe gauche. Et même, les lignes de courbure peuvent être planes sans que leurs cercles osculateurs se^onfondent avec ceux des sections principales. Il faut pour cela que leurs plans osculateurs soient normaux et que, par conséquent, les lignes de courbure soient les lignes de plus courte distance sur la surface (61e Leçon). Par exemple, dans les surfaces de révolution, les lignes de courbure sont les méridiens et les parallèles. Les méridiens sont des sections principales, parce que leurs plans osculateurs sont normaux à la surface. Les parallèles sont des lignes de courbure planes sans être des sections principales.
CALCUL DES RAYONS DE COURBURE PRINCIPAUX EN UN POINT QUELCONQUE D'UNE SURFACE.
724. Le théorème démontré (722) permet de calculer les courbures principales en un point d'une surface, l'origine étant quelconque.
La normale menée au point M de la surface a pour
équations
Si M' est un point infiniment voisin, pris sur la ligne de courbure, la normale correspondante rencontrera la première normale en un point dont le Z sera donné par chacune des deux équations
r-hs — dx
dx
En éliminant -f- entre ces deux équations, on aura
(4) - [(» +/>') ^(i + ïV- »w] (z - *)
( * + I +p*-hq*= o.
Cette dernière équation donne deux valeurs de Z — z, et, par suite, de Z, qui correspondent aux centres de courbure des deux sections principales. Appelons p l'un des rayons de courbure, on aura
p = v/(X - *)»+ (Y — jr)» -h (Z - *)», valeur qui se réduit, en vertu des équations (i), à
p = (Z — z) \Ji+p2-hq*, d'où
Si Ton substitue cette valeur de Z — z dans l'équation (4), on aura, en réduisant et ordonnant,
d'où Ton déduira les valeurs des deux rayons de courbure principaux.
725. Les normales d'une surface, menées par les différents points d'une ligne de courbure, forment une surface développable, puisque deux normales consécutives se rencontrent. Pour avoir l'équation de cette surface, il faut éliminer x,y, z entre l'équation de la surface proposée, les équations (i) d'une normale et l'équation (8) du n° 719 qui exprime que le point (x,y9 z) est sur la ligne de courbure.
On obtiendra le lieu des centres de courbure de toutes les sections principales d'une surface représentée par
Piqua lion
en éliminant x, y^ z entre cette équation, celles de la normale, et F équation (4) où Z se rapporte au point de concours de deux normales infiniment voisines. Cette surface se composera de deux nappes, puisque chaque normale contient deux centres de courbure.
