L'intégrale

e—xdx

a été déterminée par 1VL Poisson à l'aide d'un procédé très-remarquable. Si Ton change x enjv*, on aura encore

et, par suite,

= / e-**dx f c->tdy= I e-*-r*dxdy.

Soient maintenant trois axes rectangulaires Ox, Oy. Oz\ et

Fig. 104.

et l'intégrale double

jr = o, z = e-

les équations d'une courbe située dans le plan zOx.

Si cette courbe tourne autour de Taxe Oz^ elle engendrera une surface ayant pour équation

j f e-*-rxdxdy

représentera le quart du volume compris entre la surface et le plan xOy. On peut évaluer ce volume en le partageant en une infinité de tranches cylindriques dont Oz soit l'axe commun. La tranche terminée aux surfaces qui

ont pour rayons r et r-hdr est égale à sa base aitrrfr multipliée par sa hauteur z ou e~r2 : on a donc

d'où (1)

4Jo

X2itrdr=. y wj

472. Un procédé analogue peut être employé pour la détermination d'autres intégrales. Supposons que l'on ait à évaluer

Cette intégrale représente la portion située dans l'angle des coordonnées positives du volume compris entre la surface qui a pour équation

et le plan xOj. Décomposons ce volume en éléments

infiniment petits au moyen* des plans 2 OS, z OR menés par Taxe des s, et des cylindres PQ, RS ayant Oz pour axe commun. Si l'on pose OP=r, PO .r = 0, le prisme infiniment * * petit MPQRS ayant pour base

le rectangle PQRS = rdQdr, et pour hauleur

z=/(x9jr) =f(r cosô, rsinô), aura pour volume

rd9drf(rcos99 rsinQ).

L'intégrale proposée pourra donc être remplacée par la suivante

/ / /('•cosô, rsin 9) rd$dr%

dont la valeur sera quelquefois plus facile à trouver.