On a, par définition

//,r= tf -*- A«, «, = ux -4- A«M Aut — Atf -r A3//.

En ajoutant ces équations, membre à membre, il vient

tt,rr«4-2Att-4- A'a.

On aurait de même

àu2 z=z a a -h 2 A2 u -f- A3 m ,

d'où, en ajoutant ces deux équations,

et ainsi de suite. On est ainsi conduit par induction à la formule

n (r? — 1) ( 1 ) tt„=zn -\- « A « H A u -+- ... -f- A" w,

ou à la formule symbolique

un— {i -h A)(")«f

dont l'exactitude se démontrerait par le mode de raisonnement employé (729 et 730).