DIFFÉRENCES DES FONCTIONS ENTIERES

732. Supposons maintenant que u soit une fonction entière de x du degré m, et que ut, i/s, ws, . . . , représentent les valeurs successives que prend celte fonction, quand on doune à x une suite d'accroissements égaux représentés par /*. Soit

On aura

Au=zA[(x -4- h)* — 3?*] + B[(x -4- h )m~x — .r"— ' ] -4- C f (* 4- /<)"-' — *«— »] '-+-... 4- K/i.

En développant et ordonnant par rapport à j?, on aura un résultat de la forme

Aa = /nAA.z"— ' -t- B'*"*-* -h C'*"-3-*-. . . H- K'.

Le premier terme est du (m — i )«*«•• degré, et son coefficient se forme en multipliant le coefficient du premier terme de u par l'exposant de ce terme et par A.

En opérant de la même manière sur la différence première, il en résultera

L*U = rn(m — i) À/^x"— a-t- B**w-S-H. . . -4- T;

on trouvera de même

A*K = /»(/?! — l)(/W — 2)A/i*^-8+Bw.T*-*-|-...H-H'%

et ainsi de suite.

Le degré de chaque différence va en diminuant d'une unité, d'où l'on conclut que la miime sera constante et se réduira au premier terme, dont la loi est connue. On aura donc

Ainsi, les différences miim0S d'une fonction entière du mième degré sont constantes, lorsque la variable croît par degrés égaux. Les différences suivantes sont donc nulles.