ET NOTATIONS

736. Le calcul inverse des différences a pour objet de déterminer une fonction quand on connaît sa différence finie, ou lorsqu'on a une relation entre cette fonction, quelques-unes de ses différences et la variable indépendante. Mais nous nous bornerons au premier cas

Soit x la variable indépendante dont l'accroissement Ax est supposé constant et égal à h ; soient F (x) la fonction inconnue etf(x) la différence donnée : on doit avoir

A F (*)=/(*), ou F(* + A)— F (*)=/(*). La fonction F,(x) dont la différence est/(x) se représente par \ f(x) , et se nomme Y intégrale aux différences

finies def(r). D'après ces notations, les caractéristiques

\ et A appliquées à la même fonction se détruisent, et

l'on a

737. Dans le calcul intégral ordinaire, quand on a obtenu une intégrale particulière d'une différentielle donnée, on ajoute à cette première solution une constante arbitraire pour former l'intégrale générale. Dans le calcul intégral aux différences finies, ce n'est pas une constante arbitraire qu'il faut ajouter à une intégrale particulière, mais la fonction la plus générale dont la différence est nulle. Ainsi <p (x) étant une fonction dont la différence estf(x), il faudra qu'on ait

us (x) devant satisfaire à l'équation

Ad (x) =cr (x -\- h) — gt (.r) = o.

La valeur de la fonction ts (x) est complètement arbitraire quand x varie depuis une valeur quelconque a jusqu'à la valeur a -f- A. Pour les valeurs de x, qui ne sont pas comprises daus cet intervalle, la fonction u (x) sera déterminée par la condition de reprendre la même valeur quand x augmente de h. On la nomme, pour cette raison, une fonction périodique.

Cette fonction peut être représentée par une courbe. Prenons sur Taxe Ox des intervalles AA;, A' A", A/7AW,. . . , égaux à A; puis, élevons les perpendiculaires Fiff. I25 égales AB, A'B;, A"B",....

Traçons à volonté l'arc BMB', etsoitBB'B"B'"...

une ligne composée d'un nombre indéfini d'arcs x égaux à BM6'. L'ordonnée de cette courbe aura la même valeur pour des valeurs

CINQUANTE-SEPTIEME LFÇON. 2,6*]

de x dont la différence est A, et représentera la fonction cherchée.

On aurait une fonction jouissant de la propriété en question, si Ton prenait

oW^V sin — — , cos —j— ) -,

Y désignant une fonction tout à fait arbitraire.