Soit

V(*)=ff(*)d* ou /(*) =

dx

On a, par la formule deTaylor,

Donnant a x les valeurs x0j Xi,xt9 . . . , xnmmi et désignant xn par X, il en résultera :

P(*,)-F(x.)=vw+ t;/'W + 7tt/'W+-!

ei, en ajoutant, membre à membre,

Posons

Comme F(X) — F (jr0) n'est autre chose que l'intégrale définie def(x) dx, prise entre les limites jr© et X, l'égalité (1) pourra s'écrire

(2) f fr)dx = h&A*)+ ^*f(*)+ ^S/*(*) + ..- Stcrm. — An., I- x°

Remplaçant/* (x) successivement par/7 (jr),/v(.r).... jans légalité (a), on aura

/(Xî-/(*.) = AS/'W + ^S/^(*)+7^S/-'(*) + ...

,,, ; /* (X)-/'(*; = AS/' W+ £s/"(*-) + 7^5 »/"(*) + . .

(^jj / 1.2 1.2.3

/"(X)-/»(x.) = AS/"(.r)-f- ^ls/"(r)+ • • •

Multipliant les égalités (2) et (3) pan, A/i, B/j*, CA3,..., et ajoutant, il vient

J /(.r),/*+AA[/(X)-/(*.)]+BA>[/'(X)- /(x„)] ' +Ch*[f"{X)-f" {*.)] + ...

= AS/(x)+/,VWJ^+a)

+ A«S/"(x)( L +A^ + JL + cW..«

Le second membre de cette égalité se réduit à hSJ(x), si Ton pose

d'où l'on tire

CINQUANTE-HUITIÈME LEÇON. 2j5

de là résulte

S/(*) = jjT /(x)dx- l [/(X) -/(*.)] (5) { + LA[/'(X) -/'(*,)]

formule qui sert à représenter une somme au moyen d'une intégrale définie.