L'équation (5), résolue par rapport à I f(x)dx
fera dépendre la détermination d'une intégrale ordinaire de celle d'une intégrale aux différences finies. En remplaçant SJ(x) par/(x-0) H-/(*,) H-/(j-,) -H - • - , on aura
Le premier terme du second membre représente la somme des trapèzes inscrits dans la courbe y =i/(x), et déterminés par des ordonnées équidistantes. Quant au premier membre, il représente l'aire de cette courbe.
746. Les coefficients A, B, C,. . . étant indépendants def(x), on peut les déterminer au moyen d'une fonction particulière. Si Ton prend
on aura
f\x) djc = ex — e*° ,
puisque X = x9 -f- nh. Si l'on porte les valeurs précédentes dans l'équation (4), le facteur ex — e*« se trouvera commun aux deux membres, et, en le supprimant,
JL
( 7 ) -7 = 1 -f- Ah -h Bh> -f- C/j» -+-
Il suffit donc de développer -^ suivant les puissances
de h, ce qui se fera par la formule de Maclaurin.
On sait déjà que A = *, l'égalité (7) revient donc à
la suivante,
i + BA'-t-CA'-f-.. .= -r h - = -1— m
ou bien
Le second membre ne change pas quand h est remplacé par — h. Donc le premier membre ne doit renfermer que des puissances paires de A, et Ton a
FORMULES d'iNTERPOLATION. — FOBMULE DE NEWTON.
747. L'interpolation a pour objet de trouver une fonction d'une variable, connaissant les valeurs de cette fonction qui correspondent à un certain nombre de valeurs données de la variable. Ce problème est indéterminé tant qu'on ne fixe pas la forme de la fonction cherchée, car il revient à faire passer une courbe par des points donnés, ce qui peut se faire d'une infinité de manières, tant que la courbe n'est pas définie. Le problème de l'interpolation devient déterminé quand la forme de la fonction est donnée et qu'elle renferme autant de paramètres distincts qu'il y a de valeurs données de la fonction. Par
exemple, si 1 on se donne n -f- i valeurs d'une fonction entière du degré /i, correspondant à n 4- 1 valeurs de la variable, on aura n + i équations pour déterminer les n -+- 1 coefficients inconnus.
748. Nous examinerons d'abord le cas où les valeurs de la variable sont en progression arithmétique. Soient
n -{- 1 valeurs d'une variable, et h leur différence constante. En choisissant convenablement l'origine des x, on pourra faire en sorte que
x# = o, x% = hy jra = 2^,..., xnz=nh.
Soient
les valeurs correspondantes d'une fonction u, que nous supposerons entière et du niiau degré. À l'aide de ces valeurs on pourra former les différences successives Auq, A* u0y A8n0, , Abh0. Mais on a (731)
Ce développement de um s'arrête de lui-même au terme qui contient Am£/0, parce que les coefficients des termes suivants sont nuls. Ainsi, on peut le prolonger indéfiniment. En supposant m moindre que n, ou au plus égal à 7i, on peut écrire
um=u9-t-mAu9-\ Aatf0-h...
^ mfm — ï) (m — 1). ..(m — *-t-i) Am
Remplaçons m par y» et posons
Le polynôme u se réduit évidemment à um pour x = mh ; par conséquent, il prend les valeurs
lorsque x est égal à
o, k9 ih , . . . , /?/;,
et comme ce polynôme est du nièms degré, il satisfait à toutes les conditions du problème.
La formule (2) est connue sous le nom de formule de Newton.
FORMULE DE LAGRAWGE.
