Supposons maintenant que les valeurs données de x

soient quelconques. Posons

o(x) = u, f(x) = (a? — x0) (x — Xi) ... (x — xn): on a (1,331) :

[ ?(y) ?(yo) T + ?(gi) J .

1 /(*) f\x*)X — X0 f\3Fl)X^Xl

f'(xn) (X — XH)

Mais on a cp(xA)= w^et

J K ' X — Xk

Donc, si Ton multiplie les deux membres de l'égalité (4) par /(x), on aura la formule d'interpolation due à Lagrange,

(X —X^ (X — X2)...(x —Tn}

(x — x0) (x — ^2).. • (# — xn)

//\ y (x\— &q) (X\ — Xt)...(Xt — xn)

(X —X0) (X —Xi)...(x —Xn-\) u

(xn—x0) {xn-—xi)...(xn—xn-i)

FORMULES D'APPROXIMATION POUR LES QUADRATURES, RECTIFICATIONS, CUBATURES.

750* L'évaluation des aires, des longueurs, des volumes se ramène, en dernière analyse, à la détermination d'une ou de plusieurs intégrales définies relatives à une seule variable. Mais il est souvent impossible d'effectuer l'intégration indiquée, et il faut recourir à des formules d* approximation .

Supposons qu'il s'agisse d'évaluer l'intégrale

/ /(*)«*r = Sf

ou l'aire de la courbe j' =f(x).

La formule d'Euler (746) offre un premier moyen d'obtenir une valeur approchée de cette intégrale. On peut aussi, à l'aide des formules d'interpolation, remplacer f(x) par une fonction entière du rikm* degré que l'on intégrera, ce qui revient à remplacer la courbe y=f[x) par une parabole du niim* degré qui an-hi points communs avec elle. On peut encore prendre une suite de paraboles du second degré, et remplacer les parties correspondantes de l'aire cherchée par celles de ces paraboles. C'est celte dernière méthode que nous allons développer.

751. Partageons l'intervalle X — #0 en un nombre pair, /i, de parties égales. Parles trois points de la courbe (^0)^o)> (^ + ij<)' (^o+2À,^2), faisons passer une parabole du second degré doot l'axe soit parallèle à Taxe des y, ce qui est toujours possible, comme on sait. Désignons par z l'abscisse comptée à partir du pied de la première ordonnée. L'équation de la parabole sera

^ = A -t- B*-h C**, et nous aurons

y0 = A, yx = A-hBA-f-CA*, y% = A -t- 2BA-+- 4GA2,

el ensuite*

= j(A+4A4-4B^4-4CAJ-f-A4-2B^-|-4G//2);

par conséquent,

On opérera de la même manière sur les autres parties de Taire, et l'on aura une valeur approchée de cette aire en faisant la somme de ces parties, savoir :

3 (/• •+- 4r. +/0 ■+- 3 (>• •+- 4^s +.*) + 3 (ri + 4r» +/•)-+-•••+ 3 (/•-» ■+■ 4r«-. -+-7») »

ce qui revient à h

Cette formule est due à Thomas Simpson.

CINQUANTE-NEUVIÈME LEÇON. 28 l