BUT DU CALCUL DES VARIATIONS

752. Dans les questions ordinaires de maximum et de minimum, on donne la forme d'une fonction d'une ou de plusieurs variables, et Ton cherche les valeurs particulières qu'il faut attribuer à ces variables pour que la valeur de la fonction diminue ou augmente lorsqu'on modifie très-peu ces variables. Dans le calcul des variations. on considère une intégrale définie

x x dx dx2

qui renferme sous le signe / une variable x, une fonction inconnue y de cette variable, et quelques-unes de ses dérivées, et il faut trouver pour y une fonction f (x) telle, que cette intégrale ait une valeur plus grande ou plus petite que si l'on remplaçait {(x) par une fonction d'une forme tant soit peu différente. On voit en quoi les nouvelles questions se distinguent des questions ordinaires. Ce n'est pas une ou plusieurs valeurs particulières

qu'il faut déterminer, mais la forme d'une certaine fonction inconnue, ou la valeur de y en fonction de x.

753. Plusieurs problèmes de géométrie conduisent à chercher le maximum ou le minimum d'une intégrale définie. En voici un exemple: Étant donnés deux points C et D, trouver une courbe plane CMD telle, que la surface de révolution engendrée par le mouvement de cette courbe en tournant autour d'un axe Ox situé dans son plan, soit un maximum ou un minimum.

Fig. 126. Soit S la surface : en posant

OA = ;r0, OB = xti on aura (1, 442)

Oj A F fi

Il faut donc trouver une fonction dex,y = f(x), telle, que l'intégrale précédente ait une valeur plus grande ou plus petite que toutes celles qu'on obtiendrait en modifiant infiniment peu la forme de la fonction f (x).

754. La marche à suivre pour résoudre ces nouvelles questions diffère peu de celle qu'on a déjà suivie dans les questions ordinaires de maximum et de minimum. On suppose connue la fonction cherchée : on la fait varier infiniment peu, et Ton exprime que la valeur de l'intégrale augmente si cette intégrale doit être un minimum, ou diminue si elle doit être un maximum. Mais pour arriver à ce résultat il faut trouver les accroissements ou variations dey et des quantités qui en dépendent, quand on change la fonction de x qui exprime y.