EMPLOI DES IMAGINAIRES

476. En changeant x en x-ha dans l'équation (2), elle devient

Xoo e-(*+«)\lx = yÇ,

ou

Xoo __

Mais on a

/»co /»00 / — 00 J 00

Jf»30 er**(e**-{-e-*l*)dxî o

donc

J/^oo

Les deux membres de cette équation peuvent être développés en séries convergentes, suivant les puissances entières et ascendantes de a, et comme l'équation a lieu pour toutes les valeurs réelles de a, les coefficients des

mêmes puissances de a doivent être égaux dans les deux membres; d'où il suit que l'équation subsistera si Ton y remplace a par une expression imaginaire. En posant

a = a y/ — i, d'où e9ax-t- e~ta* = 2 cos 2ax, elle devient

e-* cos 2 oixdx = - e~~ a* yÇ.

Ainsi, le passage des quantités réelles aux imaginaires peut faire découvrir de nouvelles intégrales, comme on l'a déjà fait remarquer au n° 466.

INTÉGRALE OBTENUE A l'AIDE d'uNE ÉQUATION