CONDITIONS RELATIVES AUX LIMITES

775. Lorsque V ne contient que x, j", p et ç, l'équation K = o, ou

d*Q . d*q dk y

est du quatrième ordre, puisque -^f contient — - ou — .

Il faudra intégrer cette équation, et Ton aura un résultat

de la forme

contenant quatre constantes arbitraires. Pour les déterminer il faut avoir égard à l'équation

relative aux limites de l'intégration. Mais il est nécessaire de distinguer plusieurs cas.

i° Si Ton donne les valeurs de x, y, p> q aux deux limites, les variations de ces quantités étant nulles à ces limites, l'équation T = o est identiquement satisfaite, et si Ton représente par f'(.r, C, C, C", C") la dérivée de f (x, C, C, C", C") , on aura

, />. = f'(*.,CfC'fC"iC),

pl = r[*l9c9c9cr9cr)9

c'est-à-dire quatre équations qui déterminent les quatre constantes inconnues.

a° Si l'une des six quantités jc0, y0, po, Jt, ji, p% reste arbitraire, pt par exemple, l'équation r = o ne sera pas identiquement satisfaite; mais il faudra égaler à zéro le coefGcient de ipi9 et l'on aura l'équation Qt = o, qui, avec les équations (3), déterminera les quatre constantes et la valeur de pt.

3° Si Ton avait entre les valeurs de x, y, p9 relatives aux limites, une équatiou

(4) •(j?nr«^ *i»rif /M — °>

on différentierait cette équation par rapport au paramètre t, et Ton aurait

do » do » do „ do do do

rfx0 t/y, <//?„ e/Xi c/ji r//;,

En portant la valeur de 5pl9 tirée de cette équation, dans l'équation T = o, il faudra égaler à a les coefficients de <Jjr0, dy0, £/;0> ^î et 8yim On aura donc cinq équations qui, réunies aux équations (3) et (4), détermineront les dix inconnues C, C, C", C", x0, y09 p0> xl9jl9 pi*

Ces exemples suffisent pour montrer comment on devrait opérer, si Ton avait deux ou un plus grand nombre d'équations relatives aux limites.