CAS OU LA. FONCTION V CONTIENT DEUX FONCTIONS DE X

776. Supposons maintenant que la fonction V contienne deux fonctions j' et z de la variable x. On aura alors \768)

I \<Ijc — r-f-l (K» + KV)rfr=o. x9 Jx%

Cette équation équivaut aux suivantes

En effet, &> et co' sont deux fonctions de x arbitraires et indépendantes Tune de l'autre, et T ne contient que les valeurs des variations relatives aux limites de l'intégrale; donc, si K et K/ n'étaient pas nulles, en laissant constantes les valeurs relatives aux limites, on aurait r = o, tandis qu'on pourrait faire varier w et &>' de telle sorte

que l'intégrale / (Rw -f- K'o/) dx ne fût pas égale à o.

On doit donc avoir

et par conséquent

Les deux premières équations déterminent jp et z en fonction de x. La troisième sert à déterminer les constantes introduites par l'intégration des deux premières.

777. Nous avons supposé que y et z étaient des fonctions indépendantes l'une de l'autre. S'il existait entre elles une relation

les variations 5 y eidz ne seraient plus indépendantes.

3oo couks d'analyse.

On doit avoir, dans ce cas,

dF . d¥ dF .

— 6x -f- — ojr -f- — dz = O, cte dy dz

équation que Ton obtient en différent] an t l'équation (1) par rapport à t. Remplaçons dy et dz par leurs valeurs

3jr =p$x -¥- v> 8z =p'8x -|- w' :

il vient

— 0 j: -f- — (/?Jx + w) H \p'6x -t-»') = O,

ou

■rfF <*F </F A % rfF rfF ,

ou enfin

/ x " rfF rfF ,

car on trouve

dF dF dF ,

— -h Tp+ — //=o,

en difierentianl l'équation (1), par rapport à x. De l'équation (2) on déduit

dF ,__ <*r

et, par conséquent,

Pour que cette variation soit nulle, il faut qu'on ait

uz djr

Les équations (1) et (4) feront connaître y et z en fonc-

SOIXANTIEME LEÇON. 3o 1

tion de x. Quant à l'équation T = o, elle servira à déterminer les constantes.