LIGNE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX POINTS DANS UN PLAN
780. On demande la ligne située dans un plan, passant par deux points A et B, et qui soit la plus courte quon puisse mener entre ces deux points.
Prenons deux axes rectangulaires dans ce plan, soient J'oîJXo les coordonnées du point A et ocuyx celles du point B. Dans cet exemple ou doit avoir
et (774)
mais (764)
y7 1 -t- />* dx = o
Il faut donc qu'on ait
il s'ensuit
— ■= const.,
ou, ce qui revient au même,
P = C', d'où
C et C étant deux constantes. D'ailleurs, il suffit que l'équation R = o soit satisfaite, puisque, les valeurs de x ei dey relatives aux limites étant Gxes, les variations $jr0. 3jr0) d*£i9 fyi sont nulles, et, par suite, on a iden-
SOIXANTIÈME LEÇON. 3o3
tiquemcnt T = o. La ligne cherchée est donc une ligne
droite; les constantes C et C se détermineront parles
équations
y9 = Cx9 -4- C, jrtz= Cxx -f- C.
«I mJb-
LIGNE LA PLUS COURTE d'un POINT Â UNE COURBE PLANE.
781. Soient A et LN le point et la courbe donnés Fig. 128. dans Je plan xoy \ et
l'équation de la courbe.
Soit, de plus, AB la ligne la plus courte menée du point A à un point de la courbe donnée.
L'extrémité A de la ligne AB est fixe; l'autre extrémité peut varier de position sur la courbe LN.
En conservant les notations du cas précédent, on arrive encore à l' équation
la ligne cherchée est donc une ligne droite.
Il faut maintenant déterminer les constantes C et C. Or, on a
8x9=o, ày.
Qr=o,
mais les variations dxx et iyt ne sont assujetties qu'à la seule condition que le point (xjH-îxu/j + d/i) soit sur la courbe donnée. Ou a donc
d'où
Sri = 4^*1)8*11
et, pour que T s'annule,
Zxi-hpityi =0.
h-/>i<K(*i) = o, i-+-Gf(^) = o,
On en conclut
ou
3o4 couîis d'analyse.
puisque
Pi = C.
On déterminera ensuite les constantes au moyen des
équations
^0 = Cr0 -h C, i -+- Cf (x, ) = o,
Il résulte de l'équation (3) que la ligne la plus courte entre un point et une courbe est une droite normale à cette courbe.
