LIGNE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX COURBES PLAJVES

782, Soient

(2) jr=$(x)

les équations de deux courbes situées dans le même plan. En raisonnant comme dans le cas précédent, on trouve

que la ligne cherchée est encore

une ligne droite,

(3) jr = fcr -f- C ;

mais la détermination des constantes ne se fait plus de la même manière. Dans ce cas Jx0, $y<>, da^, Sji peuvent varier pourvu que le point Af(r0-h$xQ^j0^-$j0) reste sur la courbe (i), et le point B' (.r, -h ixuy% -f- tyi) sur la courbe (y). Mais l'équation T = o (767) se réduit à

qui se change, comme dans le cas précédent, en celle-ci :

(4) **. [i + Cf (*,)] - **.[i + <V(*0l = °>

à cause des équations

jr9= ?(.r0), /, = >H4

SOIXANTIEME LEÇON. 3o5

Or, les variations $r0 et Sxt étant indépendantes lune de l'autre, l'équation (4) se partage en deux,

qui, réunies aux suivantes,

y* — Cr. -4-C, x« = <?{*»)>

déterminent complètement les constantes C et C, et les coordonnées x0, /0, xl5 ^ des extrémités de la droite minimum.

Les équations (5) font voir que la ligne la plus courte entre deux courbes planes est une normale commune aux deux courbes proposées.

EXERCICES

i . Trouver la fonction qui rend maximum P expression

Jl i — * — ' h aA dx.

Solution :

2. Trouver la courbe qui rend maximum ou minimum l'expression

Solution : En coordonnées polaires

r"+2cos(/H-a)(0-00) = C.

Stirm. — An., Il 20

SUITE DES APPLICATIONS DU CALCUL DES VARIATIONS

Autre manière de résoudre les problèmes précédents. — Ligne la plus courle entre deux points dans l'espace. — Ligne la plus courte sur une surface donnée. — Surface de rérolution minimum.