AUTRE MANIERE DE RÉSOUDRE LES PROBLÈMES PRÉCÉDENTS

783. Au Heu d'appliquer les formules générales, on peut opérer directement comme il a été expliqué n° 77(1. Dans les trois problèmes qui précèdent on doit avoir

8] sjdx* -+- dr) -l = o ;

mais en posant ds = \Jdx* -+- dj • * , on a

et comme l'intégration par parties donne

/ — dâ.v = — Su. — / Sxd -^ i as as J a>

l'équation (i) prend la forme

(" ' -jC(-S+"-Î)-

Mais de l'identité

fdxY fdr\*

SOIXANTE ET UNIÈME LEÇON. 3oy

on tire

d'où

dx dx dy dr

ds ds ds ds '

d— — — — d — — *— d-ds dx ds ds

Donc, pour que la quantité placée sous le signe d'm-

dx ds~

dx tégration soit nulle, il suffit que Ton ait d — = o, ou

d — = o. Supposons

dx (3) d-=o;

il en résulte

= const. ,

d'où

p-dx=Z^

(4) jr = c*-h<yf

équation d'une ligne droite.

784. Déterminons maintenant les constantes d'après la nature du problème proposé.

i° Si les deux points (.r0,j'0), (x** ?*) sont donnés, les variations des limites dxQ, $yQ, $xti ày^ sont nulles, et l'équation T = o, ou

est satisfaite identiquement. Les constantes se déterminent, alors, par les équations

a° Si le point A (x0, /o) est fixe, et que l'autre point B (art, ^) doive se trouver sur une courbe donnée,

3o8 cours d'analyse.

on a

et l'équation T = o se réduit à

dxlHxl -h dyx $yx = o,

doù

donc la droite (4) est normale à la courbe (5), car y\ ~ ^ (^i) donne ô^j = ty'(xt) $xx , et, par suite, on a

i -f-C^Xi) — o.

Les constantes C, C; et les coordonnées du point extrême B sont déterminées par les équations

y9 = Cx, -f- C, I -h CiJ/ (x, ) = O , jr, — Cx, +C, ^,= + (*')•

3° Enfin, si les deux points A et B doivent se trouver sur deux courbes données

on aura

ce qui donne

L'équation r = o se réduit alors à

[dxx -f- djrt +'(*.)] Jx, — [rfx, -4- </>-, y' (x0)] J.r# = o

et se partage en deux équations :

parce que 5x0 et oxj sont des quantités indépendantes, et arbitraires. Ces deux équations montrent que la droite cherchée est normale aux courbes données.

Les constantes C et C, les coordonnées x0, y^ xu yt des extrémités de la droite minimum sont déterminées par les six équations

jrt = Car, -h C, jrt = ï(xt), i -H Cf(jr.) = o.