LIGUE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX POINTS, DANS L ESPACE
785. Jusqu'à présent nous avons supposé que les lignes Fig. i3o. considérées étaient situées dans
un plan donné. Cherchons maintenant quelle est, dans l'espace, la ligne la plus courte unissant deux points A et B.
Soient x0,jKoî *• les coordonnées du premier point, etx1?y,, zx celles du second. La longueur de 1* arc A M B sera représen tée par
fV~@M£)"
Nous aurons donc
d'où
Vdx = ^dx2 -f- dy* +-dz2 = ds, dxdSx -4- dydây -4- dzdSz
9Xdx =
ds
et par conséquent, en intégrant par parties :
C** Mx m dy m dz m \
J \ ds J ds ds/
Il faut maintenant égaler à o l'expression placée sous le
3io cours d'analyse.
signe | , et comme les variations 5x, $y, dz sont indépendantes et arbitraires, on aura . .dx Jdy .dz
Mais, ces trois équations se réduisent à deux distinctes. En effet, de l'identité
dx* dr* dz*
ds* ds* ds>
on tire
dx mdx dy .dy dz ,dz
ds ds ds ds ds ds
dx //y
donc si Ton a d — = o , d — = o , il en résultera
ds ds
7dz d-r-= o.
ds
Des équations
dy dz
ds ' ds '
on tire, par une première intégration,
dy dz
ds ' ds
ou, ce qui revient, au même,
dy= <& __ ,
dx ' dx '
et, en intégrant de nouveau,
(3) y = cx-hC, z = c'x + C9
équations d'une ligne droite.
786. Pour déterminer les constantes c, C, c', C, il faut distinguer plusieurs cas.
i° Si les points A et B sont donnés, les variations Ox0, Syoy ^^o9 ##19 <î/n $zi sont nulles, et l'équation
SOIXANTE ET UK1ÈMK LEÇON. 3ll
r = o" est satisfaite. Les quatre constantes se détermi tient en substituant les coordonnées des points À et B dans les équations de la droite.
2° Supposons que les points A et B doivent se trouver sur deux courbes IK, LN, ayant pour équations, la première :
et la seconde :
l'équation T = o, formée au moyen de l'équation (i), donnera
( '-f Jx -f- -~ */ -f- ~Sz ) =o, \'/s as as j %
f'fx % dy % dz % \
( -— Sx -+- -^- Sy -+- -r Sz ) = o.
\ t/s as as J 0
En effet, appelons da0 et dvx les deux arcs infiniment petits A A' et BB', situés sur les courbes données; A'B' étant une courbe quelconque infiniment voisine de la droite AB, on pourra mettre T sous la forme
Idx Sx dy Sy dz Szy
1 \ds Sa ds Sa ds Sa
\ *\ds Sa ds Sa ds Sa
Les facteurs placés entre parenthèses ont des valeurs finies, car ils représentent les cosinus des angles que la droite AB fait avec les courbes aux points A et B. Comme, d'ailleurs, io© et 5at sont des quantités indépendantes l'une de l'autre, on voit bien que l'équation T = o entraine les suivantes :
Idx Sx dy S y dz Sz\
\ ds ~fc "*" d~s Sa~ "*" Ts S^J r" °' idx Sx dy S y dz Sz\ \ :ls Sa ds Sa ds Sa I *
3l2 COURS D'ANALYSE.
et ces équations, qui sont au fond les mêmes que les équations (6), expriment que la droite AB est normale aux deux courbes.
À cause des équations (3) , on a
dy dz __ ,
et, puisque les extrémités de la ligne AB doivent rester sur les courbes (4) et (5) . on aura
Syi = 4>'(xl)Sxl, J», = **(*,)**„
*rt = f'(*t)**t#
Sz9=z^r(x9)Sx9»
Les équations (6) peuvent donc se mettre sous la forme
I •+-c*'(xt)-t-c'V'(xt)=o,
eî, réunies aux huit équations suivantes,
/i = ^,+ C, j, = ex, -f- C, z0 =■ c'x, -f- C, 2, = c'xi -f- C,
elles forment un système de dix équations propre à déterminer les quatre constantes et les six coordonnées des points extrêmes de la droite.
3° Supposons que les points A et B doivent être sur deux surfaces données. On pourra encore mettre T sous la forme (7), en appelant î<70 et iat deux arcs infiniment petits A A', BB'. situés sur les deux surfaces; et comme les déplacements des points A et B sont indépendants l'un de l'autre, on aura encore
itlx Sx dy Sy dz Sz\
\ds Se ds Sa ds Sa), '
, (Le Sx dy S y dz Sz\
\ds Se ds Sa ds l?o)t ~
SOIXANTE ET UNIÈME LEÇON. 3l 3
La première équation exprime que la droite AB est normale à une courbe quelconque située sur la première surface et passant par le point A : donc la droite AB est normale à la première surface. Cette droite est, par la même raison, normale à la seconde surface.
Les constantes et les coordonnées des points A et B se détermineront comme dans le cas précédent.
