Soit
(i) F[x,jr,z) = o
V équation d'une surface courbe; proposons-nous de trouver la ligne la plus courte AMB que Von puisse tracer sur cette surface entre deux de ses points A et B.
Soient x0, y0> z0 les coordonnées du point A, et xt9 yu zx celles du point B.
Toutes les courbes que Ton doit comparer étant sur la surface (t), les variations des coordonnées doivent satisfaire à l'équation
d? . df . d? .
' dx dy dz
L'une des conditions du minimum est
(3) K = **<f^+ tfd?£-h*zd^ = o.
ds ds ds
Mais de l'équation (2) on peut tirer la valeur de dz, et la porter dans l'équation (3), qui devient
( dx dx dz \ I dy dy dz »
txi d-t — d-- |4-*H rf-r-— -rzd-r - o,
\ ds r/F ds / J l dx d¥ ds I '
\ dz / \ ~dï
et cette équation, à cause de l'indépendance des variations
3i4 cours d'analyse.
Sx et dy, revient aux deux suivantes
dx dx dz
dz
ce qui fait, avec l'équation de la surface, trois équations pour déterminer les deux fonctions y et z. Mais on doit observer que l'une des équations (4) est une conséquence de l'autre et de l'équation (i). En effet, on tire des équations (4)
d±. ddJL dd±
ds ds ds
"ÛF^ ~~dF~~ ~dîT' dx djr dz
ou bicu, eu désignant par d\ la valeur commune de ces
trois rapports,
dx dF
ds dx
ds dy ' dz dF
ds dz
Ajoutons ces équations, après les avoir multipliées res-
dx dy dz pectivement par — > -f-> — : nous aurons x x ds ds ds
dz mdx dy mdr dz mdz
, ds ds ds ds ds ds
\dx dj dz J ds
Or, le premier membre est nul, puisqu'on l'obtiendrait
en difteren liant l'équation
dx7 dy* dz*
Us2 ds'
ds*—li
ta
le coefficient de — * dans le second membre, est aussi nul
ds
à cause de l'équation (i). Donc l'équation (5) est une identité. Par conséquent, Tune des équations (i) et (4) est une conséquence des deux autres. Il suffira de considérer deux de ces équations, pour que la ligne cherchée soit déterminée.
788. Les lignes les plus courtes sur une surface sont nommées lignes géode siques de cette surface : elles jouissent de cette propriété que tous leurs plans osculateurs
sont normaux à la surface. En effet, soit K le centre de courbure de AMB au point M. La droite MK fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à
Fig. i3i.
ds
as
€iS
D'un autre côté, la normale a la surface, au point M, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à
dV dF dF
dx dy dz
Mais, d'après les équations ({), ces trois dérivées sont proportionnelles aux quantités (6). Donc les angles formés par les deux droites avec les axes sont égaux, et la normale à la surface a même direction que le rayon de courbure, ou, en d'autres termes, le plan osculateur en un point quelconque M d'une ligne géodésique est normal à la surface.
Les constantes se détermineront comme dans le pro-
blême précédent, el Ton verra de la même manière que si la ligne cherchée doit aboutir à deux courbes données sur la surface, la courbe AMB les coupera à angle droit.
789. Il convient d'observer que la propriété d'être la ligne la plus courte entre deux points quelconques d'une surface peut n'exister que sur une certaine portion d'une courbe. Par exemple, sur la sphère, le plan de tout grand cercle (qui est eu même temps son plan osculateur) est normal à la surface. Mais la propriété du minimum appartient seulement aux arcs de grand cercle moindres qu'une demi-circonférence.
