SUKFÀCE DE RÉVOLUTION MINIMUM

790. Étant donnés, dans le même plan, deux points A et B, et une droite CD, trouver une courbe AMB, située dans ce plan, et qui, en tournant autour de CD, engendre une surface de révolution dont l'aire soit la plus petite possible.

Prenons pour axe des x la droite CD, et pour axe des y une perpendiculaire à cette droite. Soient x0, y* les coordonnées du point A, et xuy^ celles du point B. La surface engendrée par AMB étant représentée par

2ît / ydsy la question proposée revient à chercher le

minimum de f y as. Ur, on a

mais d'où

donc

de / yds. Or,

yds = I fyds = j (ojyds+jrîds)\

ds* = dx* -H dy*, dslds = dxldx -\-dyldy = dxdox-h dydty\

l\ %yd$ = f ^îyds+y^dîx+y^dlyX

et, en intégrant par parties,

Il faut égaler à zéro la quantité placée sous le signe I dans le second membre, ce qui donne

Mais la seconde équation est une conséquence de la première. En effet, on a identiquement

car cette équation revient à

fdr* dy*\ (dx tdx dy dy\

conséquence des équations

dx1 dy*

ds* ' ds* Jf

dx dx dy dy ds ds ils ds

11 suffit donc de considérer l'équation (i), qui donne

d'où

tU*

3i8 cours d'analyse*

et, en résolvant par rapport à dx9

cdjr

dx=.

L'intégrale de cette équation est

d'où Ton tire

x — d=:cV y

équation d'une chaînette (574, 2°).

Les constantes c et c' se déterminent comme dans l'exemple précédent. Si Ton fait passer Taxe des jp par le point le plus bas de la courbe, on a c' — o, et

Si les points À et B, au lieu d'être fixes, devaient se trouver sur deux courbes données, on obtiendrait encore une chaînette normale à ces deux courbes.

EXERCICES

i . Plus courte distance de deux points sur la surface d'un cylindre*

Solution : Courbe faisant avec les génératrices un angle constant.

2. La ligne minimum sur une surface développable se trouve par la quadrature.

SOIXÀHTE-l>EUXlEME LEÇON.

3ig

SUITE DES APPLICATIONS DU CALCUL DES VARIATIONS

Brachistocbrone. — Remarques sur l'équation K = o. — Maximum on minimum relatif. — Problèmes sur les isopérimètres.

BRACHISTOCHROHE.

Fig. r3a.

791 . Problème. — Étant donnés deux points A et B, trouver la courbe AMB que doit suivre un point pesant pour aller du point A au point B dans le temps le plus court possible. Cette courbe s'appelle brachistochrone, ou courbe de plus vite descente.

Prenons une verticale quelconque pour axe des x, et

deux axes rectangulaires Oz et Oy dans un plan horizontal quelconque. Si Ton suppose que le mobile soit parti du point

A (x0,jKo> z°)' sans v*lesse iQi' tiale,on aura, en désignant par V

sa vitesse au point M (x,jry z),

(i) V2=2ff(x — .r0).

Mais s étant Tare parcouru, et t le temps écoulé, on a

Hs dt

valeur qu'il faut prendre positivement, parce que Tare augmente continuellement avec le temps. Il en résulte

320 COVRS D? ANALYSE.

d'où

dt=z -= «

\l*g sjx — x.

On aura donc, en nommant T le temps nécessaire pour parcourir l'arc AB, et xx l'abscisse du point B,

Il faut maintenant chercher la variation de l'intégrale

Jr**i ds x, >lx — *t

En posant

on aura

\ fxds = foxds -h XSds).

Mais

JX = [x — xt) 2 (9x — 9x9);

d'un autre côté,

dx dy dz

êds = — - dSx -+- Hr dir -h -r <*£*. aj ds ds

Mettant ces valeurs dans l'équation (3) sfxds = o,

on a

-(x — x0) 2ds

-/B(wiï"4'**"x(ïrf*^"srf<r+srfto)]=a

Intégrant par parties, et faisant sortir du signe / les

différentielles des variations, on a définitivement

-| $jp(o: — jt.) '<&|=o.

Pour que la quantité placée sous le signe (dans la

seconde intégrale soit nulle, il faut égaler à o les coefficients des variations dx9 $y} $z, ce qui donne

(4) 5 (* - *.)"'* 4- rf(x^) = o,

Les deux dernières équations sont suffisantes ; car on a identiquement

Wx*hHxïy*'{x*.

puisque

d? —im

Mais

— dX ,

On aura donc, en ayant égard aux équations ( 5 ) ,

dx f dx\ i dr

c'est-à-dire l'équation (4 ).

Sturv. — Jn.% IL 21

On tire des équations ( 5 )

dr ds

t dz

- Vi j

V^x — *• ds

d'où l'on déduit

ày

792. Cette équation montre d'abord que tous les points de la courbe sont dans un même plan vertical.

Eu remplaçant ds par yjdx* -+- cty* et C par — pour l'homogénéité, on déduit de la première des équations (6)

dy — dx

Si Ton prend le plan de la courbe pour plan des xy, et le point de départ A pour origine des coordonnées, on a x% ■=. o, et F équation différentielle de la courbe se réduit à

(8) dy =

La cycloïde représentée par cette équation a un point de rebroussement au point A, sa base est horizontale, et le diamètre de son cercle générateur est égal à «. En intégrant l'équation (8), on a

y = - a arc cos \ax — x7m

On déterminera la constante a, c'est-à-dire le diamètre du cercle générateur, en exprimant que la courbe passe

SOtXAHTE-DEUXIÈME LEÇOA . 626

par le point B (j?i>>y,i). On peut aussi obtenir ce diamètre par la construction suivante. Décrivons une cycloïde quelconque ayant son sommet au point À et pour base A/; soit b le point où A6 rencontre cette courbe. À cause de la similitude des deux cjcloïdes, c et C étant les centres des circonférences génératrices qui correspondent aux deux points b et B, les triangles ABC, Abc sont semblables. Or, les points b% Bet c étant connus, il suffira pour avoir le centre C de mener BC parallèle à bc jusqu'à la rencontre de Ac prolongé.

Le temps employé par le mobile pour aller du point A

au point B, est égal à —^ I -4: (791 ), en prenant l'o-

rigine des coordonnées au point A. On aura donc, d'après l'équation de la courbe,

T = -4= / — — 4 / — arc cos ■ I, 350 .

\l*g Jo \/ax—x> y *g a

793. Supposons maintenantque les deux points A et B, au lieu d'être donnés, soient assujettis à se trouver sur deux courbes données CD, EF. On obtient encore une cycloïde AIYIB, située dans un plan vertical. Pour déterminer les points A et B qui fixent sa position, il faut recourir à l'équation générale Y = o, qui est, dans ce cas (791),

Vv[dx% dr. dz. VI

Comme les déplacements des points A et Bsur les deux

3s*4 cours d'analyse.

courbes sont indépendants 1 un de l'autre, on a d'abord

Celte équation exprime que le cosinus de l'angle TBU est Fig. i34- nul, BT et BU étant les tan-

gentes menées par le point B -g aux deux courbes EF et AB :

donc la cycloïde AMB coupe la courbe EF à angle droit.

Il faut maintenant égaler à o le reste du premier membre de l'équation T = o ; mais, auparavant, on peut simplifier cette équation. En effet, on a, pour tous les points de la courbe AMB ("91),

rîx

d'où Ton tire

Substituant cette valeur dans l'équation r = o, elle se réduit a

<a> (Xë),^+(>I);^+(XS):^=°-

Cette équation peut être rendue symétrique par rapport aux variables. On a trouvé (791 ), C et C étant deux constantes,

donc

L'équation (2) devient alors

s£)Mx£)Mx£).'*=-

et, en divisant par X,, facteur commun,

Cette dernière équation exprime que la tangente à la cycloïde au point B est perpendiculaire à la tangente menée à la courbe CD parle point A.

Les constantes et les inconnues x0, y<» *o» X\*yM z\ se détermineront comme dans les exemples précédents.

REMARQUE SUR L'iNTÉGRATïON DE INÉQUATION K = O.

794. C'est ici le lieu de placer quelques observations relatives à l'équation différentielle

dP /i*Q

v ' dx dx*

i° Supposons que N soit nulle, c'est-à-dire que y n'entre pas explicitement dans V. L'équation (1) se réduit

alors à

d? rf'Q

dx dx'

d'où résulte

Cette équation n'est plus que du troisième ordre, si Vne contient pas de dérivées d'un ordre supérieur au second.

a° Si M = o, c'est-à-dire si x n'entre pas explicitement dans V, l'équation K = o se réduira encore au troisième ordre, en prenant y pour variable indépendante;

32(5 COURS WTANALYbt.

maïs on prut encore la réduire au troisième ordre de la manière suivante. A cause de M = o, on a (764)

dV = Ndy -4- Ve/p -4- Qdq ;

d'ailleurs

dx d.r*

Éliminant N entre ces équations, on aura

dv ~= (S - S ) <ir + vdp + Qrf*

=pdP+Pdp+^d-£-Pgyr.,

d'où

équation du troisième ordre seulement.

3° Si Ton avait, à la fois, M = o, N =o, l'équation (3) se ramènerait au deuxième ordre. On aurait alors

d'où

d.r dx1

et l'équation (3) deviendrait

(4) V = Q7-Hc> + f.

Voici un problème dans lequel ces simplifications se présentent.

795. Problème. — Trouver une courbe plane A MB telle, que Voire ACBD comprise entre Parc AMB, les rayons de courbure AC et BD qui correspondent aux deux points extrêmes A et B, et la portion de développée CD comprise entre les centres de courbure C et D soit un minimum.

11 ne peut pas y avoir de maximum, puisque AB deve-

SOIXANTE-DEUXIÈME LEÇON. *Vj

riant une ligne droite, la surface correspondante serait infinie. En prenant une courbe peu différente de cette droite, on aurait donc une aire aussi grande qu'on voudrait.

Soient MK et M'K' les rayons de courbure de deux Fiff' l35- points infiniment voi-

sins M et M'. Le triangle infiniment petit MK'M' est égal à

-pds, en appelant p

le rayon de courbure y MK, et ds l'arc infini-

ment petit MM'. On en conclut aisément que la surface en question a pour mesure

dx,

x0 et xx étant les abscisses des points extrêmes Â et B.

Comme la fonction V ne contient explicitement ni x ni y y nous appliquerons la formule (794)

or,

on a donc

iq1

zzz c'p -f- c-

Comme p = > celte équation revient a

Soit 0 l'angle MTar que fait la tangente MT au point M (jc9y) avec Taxe Ox: on a

tang9=/>, sinO:= .L__i cosô =

Par conséquent,

p = c'sinô -+- ccosO.

Soient a et a deux nouvelles constantes, telles que

on aura

c= — aasina, c'=2«cosa,

Sina= , cosa =

on a ainsi

(3) p = 2asin(0 — a).

Prenons deux nouveaux.axes rectangulaires Oxf et OjJ9 tels que x'Oa: = a.

Si l'on fait 0 — a = 0', on aura

Formons l'équation différentielle qui convient à ces nouveaux axes. On a

tango' =-,

d'où

sin0' =

dr*

Remplaçons p par ? valeur qui suppose la

courbe concave vers Taxe des x : on a

dy*

«/y>\» dx*

dx2 / dur

équation différentielle de la courbe cherchée, par rapport aux nouveaux axes. On tire de cette équation

dx =

ad do*

d'où