I -+■ — d.rt

En supposant la constante c connue, on peut imaginer que l'axe desj* soit transporté parallèlement à lui-même, de telle sorte que toutes les anciennes abscisses soient diminuées de c. L'équation différentielle de la courbe est alors

dr*

i-f- — dx*

OU

(6) dy = dx\j-x-

La courbe cherchée est donc une cycloïde dont Taxe est dirige suivant Taxe des x, et dont la tangente au sommet est l'axe des y.

Pour déterminer les constantes, au nombre de quatre, que renferme l'équation de la courbe rapportée aux anciens axes» il faut distinguer plusieurs cas :

i° Si les points A et B sont donnés ainsi que les tangentes à la courbe en ces points, l'équation T = o est satisfaite identiquement; car on a $x0 = o, $yQ = o, $p0 = o,. . .. On aura les quatre constantes en substituant

33o cours d'analyse.

les coordonnées des points A et B dans l'équation de la courbe, et en exprimant que les tangentes en ces points sont données.

2° Si Ton donne les points A et B, sans donner les tangentes à la courbe en ces deux points, l'équation F = o deviendra

Qi $P\ — Qi */>• = o,

et comme les variations $pt et SpQ sont indépendantes Tune de l'autre, il faut que Ton ait séparément

Q, = o, Q, = o; on a trouvé, généralement,

et comme i +ps ne peut pas être nul, il faut que Ton ait

On déduit de là que le rayon de courbure est nul aux points A et B : ces points sont donc les points de rebrou ssement de la cycloïde.

3° On peut se donner le point A ainsi que la tan-» gente à la cycloïde en ce point, et supposer que le point B doive se trouver sur une courbe donnée

Dans ce cas l'équation T = o se compose de deux parties : un terme contenant d xiy et le terme Qt àpx\ $xt et ôpi étant des variables indépendantes, on doit avoir Q, = o, d'où qx = 00 . Ainsi, le point B est encore un point de rebroussement de la cycloïde.