Supposons qu'il s'agisse de rendre maximum Tin

JC*1 f \dx, avec la condition

(i) f \ldr=zl.

Les variations de ces intégrales doivent être nulles, si Ton compare la fonction de x cherchée avec celles qui

conservent à / Vdx la même valeur. On doit donc

avoir

Jr*x% „xt

Vctx=o, 3 1 Vdx = 0.

r0 Jx,

En développant ces deux conditions comme on l'a fait

pour le maximum absolu, on a deux équations, telles que

Jr*t

(4) 6 -f- I Lt*dx = o\

r, 0, K et L sont des fonctions que l'on formera comme il a été dit plus haut. Mais ici il ne faut plus poser séparément r = o, K = o, car a) n'est plus une fonction entièrement arbitraire de x. Pour trouver les conditions qui doivent être remplies dans ce cas, il faut d'abord éliminer o). Posons

(5) / Lwé£r = ç(x), d'où

Par conséquent,

0 + ^(l,)-(), OU ç(x,)=: — 0.

Il résulte de là, à cause de l'indétermination de &>, que (f (x) est une fonction arbitraire de x, assujettie seulement à s'annuler pour x = ,r0, et à devenir égale à — O pour x = xx. Or, on a, à cause de l'équation (5),

I do { x)

L Emportant cette valeur dans l'équation (3), il vient

r-t- ; Td(f(x) = o,

ou, eu intégrant par parties,

(6) r-(r).— X*,fWrf(r)=°'

Comme 9 (x) est une fonction arbitraire dont on donne

les valeurs seulement pour x = x0, x = xXi on doit avoir séparément les équations

La première donne

y- = — a on K -f- a L = o,

a désignant une constante arbitraire. La seconde condition devient T-t-a© = o, car ( -- j = — a, puisque — a une valeur constante — a. On a donc les deux équations

Il y aura une constante de plus que dans le cas où Ton cherche un minimum absolu, mais on a aussi une équation de plus

t/jr9