PROBLÈMES SUR LES 1SOPÉRIMETRES
799. Etant donnés deux points C et D sur un plan, Fig. i36. trouver parmi toutes les cour-
___ bes de même longueur, situées dans ce plan, et terminées aux points C et D, celle pour laquelle
l'aire ÀBDC est un maximum.
On doit avoir
Jf*xi
-4- dj* = t
et il faut chercher le maximum de l'intégrale I y dx.
SOIXANTF-DRUXIÈME LBÇOîf. 335
D'après la théorie précédente, on devra chercher le maximum absolu de l'intégrale / '{ydx-h ayjdx*-h dy*). ce qui conduit à poser
(0 Jl [ydx -f- a \jda? -h dy-) = o.
Comme les limites x0 et xt sont fixes, la partie de la variation désignée par T est identiquement nulle. On peut, en outre, ne faire varier que x. On a ainsi
(2) / 'U + tf^ rf^=:0,
rv-ë)
ou, en intégrant par parties, et négligeant la quantité placée en dehors du signe I , qui est nulle,
*xd[jr-i-a-£) = o9
et, en égalant à o le coefficient de d.r, d'où
dx
(3) ' + aTs=c-
Remplaçons ds par ydx*-r-dy** et résolvons par rapport à dx. Il viendra
v/«' - lr - «?
d'où
x — c — sla*— [y — c*)1, Ct
Ainsi, la courbe cherchée est un arc de cercle.
800. Problème. De toutes les courbes isopérimètres que ton peut tracer sur un plan entre deux points donnés A et B, trouver celle qui, en tournant autour de la droite Qx, engendre la plus grande, ou la plus petite surface de révolution.
II faut chercher le maximum, ou le minimum, relatif
de l'intégrale / yds, avec la condition
ds = l.
La question se ramène (798) à la recherche du maxi muni, ou du minimum, absolu de
(jr -+-a)dsy
et comme a est une constante, on obtiendra le même résultat qu'en cherchant le minimum absolu de I yds* problème déjà traité (790), et qui donne la chaînette.
801. Problème. De toutes les courbes isopérimètres, trouver celle qui engendre le volume de révolution minimum.
L'équation du problème est , dans ce cas ,
JCxt (y*dx + ads) = o\
comme les deux points A et B sont donnés, on peut ne faire varier que x et faire abstraction de la partie T, qui est identiquement nulle, puisqu'il n'y a pas de dérivée d'un ordre supérieur au premier. D'après cela on aura
Ils)
fl.T
as
On déduit de là, en remplaçant ds par yjdx* -\rdj*y
équation différentielle de la courbe élastique (572).
802. Problème. Déterminer la courbe qui, par sa révolution autour d'un axe [l'axe des x) engendre la surface minimum qui renferme un volume donné.
Ce volume étant « i y*dx, et l'aire arc fj'ds^ il faut poser (798)
(i) 8 l(y*dx-t- layds) = o,
a étant une constante.
En considérant comme fixes les deux extrémités de la courbe, on peut ne faire varier que x, et comme la formule
ds * = dx* H- dj'7
donne
dx ods = -r- dox, ds
on aura
j* -f- 2 ay — ) */tfx =r o.
En intégrant par parties, et faisant $x = o aux deux limites, on a
d'où Ton conclut
jra + a/y — = c.
Chacune des constantes a et C pouvant être positive ou négative, on peut écrire
dr r':±:2tfr — ±6' = Oi
~ Us
Stdrm. — An., II. 22
et de là résulte
, x . Cr9±b')dr
C'est l'équation différentielle de la courbe cherchée; le radical doit être tantôt positif, tantôt négatif; il change de signe quand y devient un maximum ou un minimum.
Si la constante b est nulle, on a un cercle ou Taxe des x.
Si b n'est pas nulle, l'équation différentielle (2) appartient à la courbe décrite par l'un des foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole qui roule sans glisser sur l'axe des or, comme l'a démontré M. Delaunay, dans le Journal de Mathématiques de M. Liouvillc (*).
EXERCICES
1 . Déterminer, parmi toutes les lignes d'une longueur donnée , et terminées à deux points fixes A, B, celle pour laquelle la somme des produits de chaque élément ds par le carré de sa distance à la droite AB est un maximum.
Solution : On prend AB pour axe des x. La question se ramène à l'intégration de l'équation
2. Parmi les courbas planes qui, passant par deux points fixes, tournent autour du même axe situé dans le même plan et engendrent une surface dont l'aire est donnée, trouver celle qui donné lieu au volume maximum.
Solution : de — , __i z— i-=— •
(*) Voir t. VI, p. 309, et une Note de M. Sturm, p. 3ij.
*ote i. 33q
