SUR UN CAS PARTICULIER DE LÀ FORMULE DU BIXÔME

par M. E. Catalan.

(Extrait dts Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1857, t. XLV, p. 621.

Les ouvrages les plus estimés, par exemple, le Cours (FJnnfyse du profond et regrettable Sturm, n'indiquent pas ce que devient la

série

quand on suppose x = ± i Cette lacune peut être aisément comblée comme il suit :

\ . Lemme I.*— Le produit ut h, uy . . ua «fl+l .. ., dans lequel on suppose, pour plus de simplicité, «,>«,>«,...> aB> «-+1 . . . > 1 , converge ou diverge en même temps que la série

lw,-hl«,^-. . .-h1«ii4-1«b+i... (*).

( * ) Cette proposition, qui est évidente, peut être fort utile. Elle prouve, par exemple, que les produits

sec a sec — • • • sec - • • •

•ont convergents, et que les produits 3 5 10 r»1

peuvent dépasser toute limite.

34o cours d\malyse.

2. Lehme II. m étant une quantité positive, moindre que l'unité % le produit

crott indéfiniment avec n.

En effet,

lim«l = Iim/2 1 f H ) = i — m;

donc la série qui aurait pour terme général 1 est diver-

génie (*); donc le produit P„ est divergent (Lemme 1).

3. Lemmr III. m étant une quantité positive, comprise entre deux nombres entiers positifs, p — î , p, le produit

p-hi />H-a «-(-î

p — m p -f- 1 — m n — m croit indéfiniment avec nm

•4. Théorème I. m étant une quantité positive quelconque, on a /M ^. , m , ™{m-i) m{m-i)...(m — n+\)

Le reste de la série (A) est (**) %

i.2.3...(//H»i) li-t-^j'"1"1'

Soit p le nombre entier immédiatement supérieur à m : on peut écrire

p-i-i yw-h2 n-i-i (i-hô)"h

Des trois facteurs de R, le premier est constant, le deuxième a pour limite zéro (Lemme 111), le troisième ne surpasse pas l'unité; donc limR = o.

(*) Comptes rendus, t. XLNI, p. 617.

("*) Cours d'Analyse, l. 1, p. 118.

IJOTE I. 34l

5. Tdéorème II. m étant une quantité positive quelconque, on a n. m m[m — \\ ^m(m — i)...(m — n-\-i)

La démonstration ne diffère pas de la précédente, pourvu que le reste soit mis sous la forme

R' = ± m(jw— Q...(jw--/>+i)

6. Théorème III. m c'&mf une quantité positive, moindre que Vunitéy on a

1 __ /n m(/7?-4-0 iw(/w-t-i) (*» 4-2) (t) < mtm + i). ..lm + m-*)

Dans ce cas, l'expression du reste est

m (w 4-0. . Am -4-/7) t

donc ( Lemme II ) lim R" = o.

7. Il est évident que la série (C) cessa d'être convergente à partir de m = 1 , et que la série

m m(m-+-i) m(m-+- i)fw-»- *>.)

. 1 + 7 + — CT~ + ÏT2T3 + -"

est divergente pour toutes les valeurs positives de m. Les cas dont nous nous sommes occupé sont donc les seuls qui présentent quelque intérêt.

(■) Cours d'Analyse, t, l, p. 120.