COURS ^ANALYSE

SUR LES FONCTIONS ELL1PTIQUBS (* ), par M. Despeyrous.

L'intégrale sous forme algébrique de l'équation

dx dy

s'obtient aisément, comme on sait (**), au moyen d'une intégration par parties. En mettant cette équation sous la forme

dx ^ i — jr* -4- dy yj i — x1 = o, on en déduit

fdx^i — jr* + ldjr^i — x-= const.

Or, en intégrant par parties, on a

(dx y/i-y* = x \/i— j-+ I *LI.

( * ) Pour l'intelligence de cette Note, il est nécessaire de savoir que l'on donne le nom d'intégrales elliptiques aux intégrales suivantes, dont la seconde représente la longueur d'un arc d'ellipse :

JC? dp I »

0 ^i — ««sin'p

a6 espèce. j df\J\ — cssiu-p,

,. , r? dç

3* espèce. I — ■ •

J0 (i -+-i» biu*ç>j y^i — c'siu'o

Si l'on pose x = sinp, l'intégrale de première espèce devient

o V7»— **tfi —

{"*) Voir, par exemple, Lacroix, Traité du Calcul différentiel ei du Calcul intégral, t. II, p. 473.

jdy s> i - x* = H i-*H J"-^

xydx

Ajoutant et observant que les termes sous le signe / donnent une

somme nulle en vertu de l'équation différentielle proposée, on trouve Tintégrale algébrique

x/i — y'-t /v'i — ci= consl.

Le constante arbitraire qu'elle contient est la valeur de y pour x = o. Posons

dx

— __ = a, x = sina, yi--x' = cosa,

et de môme

Nous aurons

du.-\- fip = o,

d'où

7 étant une constante. D'ailleurs, pour a = o, on a

x=o, P=7, ^ = sin7.

La constante de notre intégrale est donc siny. Par suite il vient 8in7 ou sin (a -+- P) = sina cosp 4- sinp cosa.

C'est la formule fondamentale de la théorie des fonctions circulaires.

Le même procédé s'applique facilement à la recherche de l'intégrale d'Euler, qui donne la formule fondamentale de la théorie des fonctions elliptiques.

Soit, en effet,

dx , dy

\ '1 — x% y\ — c'a* ^i—yl\i — c'y*

En multipliant par le produit des dénominateurs et divisant par 1 — caxa/a, on a

Or, en intégrant le premier terme par parties, on obtient

*fc

(i-t-ra)(i-4-r».rV) — aca.r» — îcV dy

En échangeant entre elles les deux lettres x et y, on aura le second

terme; ajoutant donc et observant que les termes sous le signe /

donnent une somme nulle en vertu de l'équation différentielle proposée, on trouvera

— — - : r-^1 " = COnSt.

La constante du second membre est la valeur de / pour x = o. Posons

et de même

dy

ra-f-

Nous aurons

rf« + r/p = o,

d'où

7 étant une constante. D'ailleurs, pour a = o, on a

La constante de notre intégrale est donc S (7). Par suite, il vient

S(7l ou S(« + 31 = S(»)C(P)R(P) + S(P)C(a)R(g),

( * ) Dans cette intégrale, la variable x doit être prise toujours moindre que 1. Si l'on fait x = sinç>, alors l'angle p est appelé Y amplitude de Tin* légrale a. Jacobi le désigne par am a et pose r = sinam a.

*ote ni. 345

C'est la formule fondamentale de la théorie des fonctions elliptiques. Elle donne S(a — P) en changeant le signe de S(P). On peut aussi en déduire C (a dz P) et R (adt P).

ANALOGIE DES ÉQUATIONS DIFFÊBENT1ELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS VARIABLES, AVEC LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES,

par M. E. BuAftsia».

i° Considérons l'équation différentielle linéaire à coefficients variables :

, , __ dmr ndm'iY ., r/w-*r , dy

De Tintégrale de cette équation on déduit par les quadratures celle de Xm = /(x); aussi, dans tout ce qui suit, nous supprimerons le terme fonction de la seule variable x.

L'intégrale complète de Xm = o est la somme de m intégrales particulières distinctes, que nous appellerons les solutions de cette équation. Une intégrale 7= cty(x) est distincte, si ty(x) ne peut être décomposée, par addition ou soustraction, en d'autres fonctions de x, qui égalées à y puissent satisfaire à Xm = o.

Cela posé, rappelons que Lagrange, dans son Mémoire intitulé : Solutions de différents problèmes de calcul intégral, a démontré que, si Ton connaît p solutions ct yv c^, . . . , cp yp de Xm = o, on complète son intégration en effectuant celle d'une équation linéaire d'ordre m — /?. M. Libri, en i836, a donné de l'extension à ce théorème en démontrant que, si une équation linéaire Xp = o (l'indice/? désigne Tordre), non intégrée, est telle néanmoins, que ses solutions inconnues satisfont à Xm = o, l'intégration de cette dernière dépend de celle de l'équation d'ordre p et d'une autre équation d'ordre m — p. Il est à remarquer que si l'intégration de Xp = o est nécessaire pour savoir si les solutions de celte équation appartiennent à Xm = o, ce théorème rentre dans celui de Lagrange.

Mais on peut établir un théorème général comprenant ceux do Lagrange et de M. Libri, dont voici l'énoncé : Si des équations différentielles linéaires, d'ordres m, m\ m", . . . , ont p solutions communes, on trouve, par un procédé analogue à la recherche dxi com-

3^6 cours d'akalyse.

mun diviseur algébrique, l'équation \p = o qui donne ces solutions, et l'intégration des proposées est ramenée à celle de Xp =■ o et à celle d'autres équations d'ordre m — p, m' — p, m* — /?.

a° Si dans l'équation linéaire X = o d'ordre quelconque on pose y = vu, on trouve une transformée dont la loi est donnée (46* Leçon, n° 589) ; nous récrivons ainsi :

,„du „. d*u -.„ i d3u

x« + 'xE+'xr^+-x7X52?+...

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