l m — -h Yv ) TT=ZÎ + 9 -j-z = o

Les fonctions 'X, *X, . . . , d'ordres m~i,m — a,..., se forment comme les dérivées du polynôme

zw-j-PzB,-l-f-. . .-\-Tz h- Uzf

( ce polynôme est la fonction X dans laquelle on a fait ^- = z ] »

dy par rapport à z, en remplaçant ensuite z par -p et z* par/. D'après

cette loi, il est clair que si dans 'X, "X, . . . , on remplace v par pu, on aura des transformées

'X/t+'X^-K.. ou "X«-J-WX^4-...

dx dx

pareilles à (a). Nous appellerons 'X, "X, "X... les conjuguées premières, secondes, troisièmes... de X. La relation (a) nous servira à démontrer les théorèmes suivants :

Tliéorème de Lagrangc. — Si Ton connaît p solutions, cty0 <•,/,..., rpypde X = o d'ordre m, son intégration sera ramenée à celle d'une équation d'ordre m — p.

En effet, supposons y = ytu : il suffît de faire dans la transformée (a) p = /,; puisque/, est une solution, son premier terme sera annulé, et 'X, 'X, . . . , deviendront des fonctions connues de x. Il restera donc une équation en u d'ordre m qui s'abaissera à l'ordre

m — i en posant y = u1. Or, puisque y = ytu, les valeurs de u

correspondantes à y = ys = yz = . . . = yp sont

et celles de «' -= 7- sont

dx

On connaît donc p — 1 valeurs de u! qui satisfont à une équation linéaire d'ordre m — 1 ,

'Xa' + 'X— — 4-... = o.