X ax

Cette équation, par une transformation pareille à la précédente, pourra être abaissée à Tordre m —1, et par une suite d'opérations semblables on arrivera à une équation d'ordre m— p.

Nous avons rappelé ce mode de démonstration, dû à d'Àlembert, parce que son application à l'équation X=/(.r) conduit, lorsqu'on connaît les m intégrales particulières ctyt, cty2, . . . , c^^deX = o, à l'expression de la valeur de y au moyen d'une intégrale multiple, qui peut être remplacée par la somme de m intégrales simples, ne différant les unes des autres que par les indices des lettres ; on trouve pour la valeur de y :

f(x) dx

La sommation s'étend aux indices n = 1 , 2, 3, . . . , w, et le dénominateur sous le signe d'intégration est le produit de m facteurs; chacun de ces facteurs, à partir du premier, est la dérivée, par rapport à x, d'une fraction dont le dénominateur est le facteur précédent, et le numérateur ce même facteur dans lequel le plus fort indice dey est augmenté d'une unité. Après la formation complète du dénominateur, on diminuera de m les indices qui dépassent m.

Second théorème. — Reprenons la transformée

qu'on déduit de X = o en posant y = vu. Si yx mis à la place de e rend nulles p fonctions, X, 'X,...,^-'^, l'équation X= o aura/? solutions de la forme y„ xy„ x*yt , . . . , xp''yl (nous supprimons les constantes pour plus de simplicité dans l'écriture). En effet, dans notre hypothèse, (a) devient

i.a.3/? dx»^ La...^!^' h ^7t dx"

Or, cette équation a pour solutions

u = 1 = x = x*. . . = Xp'%.

Donc, puisque y = ytu, on aura p valeurs de y, savoir : .ft,^,...,

x*~lyr Nous appellerons les intégrales particulières de cette forme des solutions conjuguées; xyt est conjuguée de/, et x*+lyx ûex"yr

En second lieu, si X = o a p solutions conjuguées y„ jy, , . . . , jf"'r„ chaque fonction 'X, *X, WX, *. . , aura les solutions conjuguées de celle qui la précède dans le développement (a), à l'exception de la solution pour laquelle le facteur or a le plus fort exposant.

Si, en effet, on suppose dans la relation (*)u= x et p égal successivement à yn xyn. . . , af"'j„ dans toutes ces hypothèses la transformée se réduira à 'X = o, puisque les valeurs de p sont des solutions de X = o. Ainsi 'X = o a pour solutions ylf xyl%. . . , x*~*yx. En faisant la transformée de 'X, on trouvera de même que /,, xyx , . . . , x*-*yx sont solutions de "X = o, et ainsi de suite.

Ce théorème comprend celui que d'AIembert démontre dans le cas des équations différentielles à coefficients constants, lorsque l'équation algébrique de laquelle dépend la solution a des racines égales (46e Leçon, n° 590).

Corollaire. — Si toutes les solutions de 'X = o sont yv xyx , . . . , xm~^yx , X = o aura les mômes solutions et, de plus, la solution -z*"1/, , car on peut toujours concevoir une équation Xn = o d'ordre m qui ait toutes les solutions ci-dessus ; or, en formant la conjuguée de X,,, = o, savoir 'Xw = o, cette dernière aura m — i solutions, y„ xyt , . . . , x*""8/, : elle sera donc identique à 'X; donc aussi Xm sera identique à X.

Troisième théorème. — Si dans la transformée (a) de X = o on

fait v=yt et u= e'xx1yi étant une solution de X = o, et a une quantité très-petite, cette transformée deviendra

Aa<? -+- A e -h A =e -r....

En changeant a en — a, on aura le résultat de la substitution de

y=yle~"*. Si, à cause de la petitesse de a, nous négligeons les termes dans lesquels cette quantité est élevée à des puissances supérieures à la première, on voit que yt =tyt{x) étant une solution de l'équation X = o, les substitutions

donnent des résultats de signes contraires quel que soit x; ces deux relations pourraient être représentées par des courbes très-rapprochées comprenant la courbe j= +, (x).

Mais si / = +, (x) annulait X et un nombre impair de fonctions 'X, 'X, . . . , les résultats de la substitution seraient de môme signe.

«OTE II î. ^ 349

En second lieu si Ton donne les équations de deux courbes trèsrapprochées, telles, que l'ordonnée de l'une d'elles soit toujours moindre que l'ordonnée de l'autre, et si la substitution des valeurs de ces ordonnées en fonction de x, dans X = o, conduit à des résultats de signes contraires, il existe entre les courbes données une courbe dont l'ordonnée représente une solution de X = 0. En effet, les équations des deux courbes très-rapprochées peuvent être mises sous les formes

o(x) et yt[x) étant des fonctions constamment positives; or, la substitution de ces valeurs dans X = o ne pourra fournir des résultats de signes contraires que si le premier terme de la transformée,

savoir Xe*9(x' ou X*~a*^*\ est identiquement nul, puisque ce terme est incomparablement plus grand que ceux qui ont a pour

facteur. Donc j = ef^*' doit être une solution de la proposée.