X^I = M5(X.)+N(XJ

K, L, . . . , M sont des fonctions de x déterminées de telle sorte, que les termes de l'ordre le plus élevé soient les mômes au premier et au second membre; les restes, comme l'indiquent les égalités, s'obtiennent par de simples soustractions. Or, il est évident qu'une solution jr, qui rend identiquement nulles X^, et X^ et, par suite, les dérivées de ces fonctions, annule aussi les restes X Xm+p a, . . . , et réciproquement une valeur de y qui annule un reste et Xm satisfait aussi à la proposée X>m+P = o. Nous avons supposé que notre dernier reste a la forme NXm,N étant une fonction de x\ dans ce cas, toutes les solutions deXm = o appartiennent à X = o, et l'élimination des restes successifs conduit au développement

(4) X-t,= J(X.H-KI^î(XJ-f-...+ M1^.(XJ+NX„=o.

35o £Ouks d'analyse.

Sous cette forme, et en prenant X,, pour l'inconnue, il suffit pour sa détermination d'intégrer une équation d'ordre p, et on trouve ainsi

Xm = ^1r,+VaH-"--+-Vp=/(-r)ï intégrant ensuite XOT = o et faisant usage de la formule ( 4 ), on a l'intégrale complète de Xm+p = o.

Si la dernière égalité du groupe (À) est

x«+i = M gj (X,,) -f-X'w, on fera

en déterminant P de telle sorte, que le terme d'ordre m soit le même au premier et au second membre. Par ce moyen, on posera la suite d'égalités

X1B+1 = M^(XJPX„+X„.„

( ]j\ / X« = 0 jjj ( XBI, ) -4- QXm, 4- X,^ ,

X*+, — S jj (Xt) 4- S'Xt.

Si Ton parvient à une égalité qui présente au second membre deux fonctions égales Xà, on arrêtera l'opération, et par l'élimination des restes successifs des groupes (A), (B), on développera XOT et Xw+, sous forme d'équations linéaires d'ordre m — À; m+p — A, qui auront Xk pour inconnue. Si la suite d'égalités conduit à un reste /.?(x) qui ne peut être annulé par une valeur de/ exprimée en-r, on conclura que les équations différentielles n'ont pas de solutions communes.

De ce qui précède, il résulte, qu'il est tôt/Jours aisé de trouver la fonction qui, égalée à zéro, donne des solutions communes à des équations linéaires, et si cette fonction est d'ordre X*, on pourra abaisser de A unités les ordres des équations linéaires,