X„+,= {& (XJ + K £1 (XJ + ...+-Q(XJ

flm dm~l

Xm+P— -j^i (Xpl-rK'^^lX,) H-...-hS'(Xp).

Effectuant les différentiations indiquées aux seconds membres, et identifiant les coefficients des différentielles de même ordre dans les deux développements, on aura m-hp relations du premier degré au moyen desquelles on déterminera les coefficients K,..., Q, K',.»-> S'. Si les deux fonctions Xm, Xp sont égales, la méthode n'est pas applicable, parce qu'il est contraire au caractère de généralité de l'intégrale complète que deux solutions soient égales; mais pour suivre l'analogie de l'Algèbre et du Calcul intégral, en ce qui concerne les racines égales, on formera des équations de même ordre

qui auront les solutions de Xm = o, multipliées par x ou par x3,

y y ar3,. . .; il suffira pour cela de remplacer^ par - > —a- • • • On com-

vu X

posera ensuite en une seule toutes ces équations de même ordre, et on aura un résultat analogue à la puissance entière d'un polynôme.

Dans le cas oùXffl=oa/? solutions yit jr2,. . ., ypy de plus iq solutions z,, xzt,...y zc, xzq et 3r solutions «,, xul7 .r'a,,..., if„ xuri x*u„ de sorte que m =/?-+- a q -4-3 r, l'intégration se ramènera à celle de trois équations d'ordre p, q, r.

Si d'abord on cherche les solutions communes à X. = o et

il*

'Xw = o, on trouve une équation X^,,. = o qui a pour solutions s, , zv. . ., zq, un **«,,..., «r, xur. Les solutions communes à 'Xm = o et *Xm = o, savoir : uv uif. . ., «r, sont fournies par une équation Xr = o ; celle-ci permettra de former X2r dont les solutions seront «,, xu0, . ., ur, xur. Cherchant ensuite les solutions communes à Xç+ar = o et Xv = o, on parvient à Xq •= o qni a pour solutions zn z3, . . . , zq. Il est facile de former sans intégration la fonction X2ç+3r = o satisfaite par toutes les solutions conjugées doubles ou triples. Avec cette équation, on abaisse Xm = o ou X^^.^ = o à Tordre p.

Les méthodes précédentes fournissent un moyen aisé de trouver les conditions qui doivent exister entre les coefficients de deux équations différentielles, pour qu'elles aient p solutions communes; il suffit d'appliquer la méthode, et d'exprimer que le reste d'ordre p est identiquement nul.

Enfin, on peut ramener à cette théorie des méthodes connues, celle par exemple que d'Alembert a imaginée pour l'intégration des équations différentielles, et qu'il reproduit dans ses principaux ouvrages, Théorie des vents , Théorie de la Lune, etc.

Prenons pour exemple de cette application l'équation du quatrième ordre

__ d*r d*y , d7v , dv -. ,

^D2 cours d'analyse.

Supposons une fonction

». d*y A d*y Mdy .„

qu'on veut déterminer de sorte que ses trois . solutions appartiennent à X4 = o ; nous poserons

De cette dernière on déduit, en identifiant les deux membres,

d9" . . » dz » ^/ »

Avec ces relations, auxquelles d'Alembert parvient, on élimine X, 6', 8", et on arrive à une équation en 0 qu'il faut intégrer pour trouver ensuite les autres coefficients. Cette détermination conduit

à quatre expressions de X,, et comme d'ailleurs -y- (X3) -f- A Xa = o

donne X3 = Cr^, en portant dans cette dernière les systèmes

de valeurs de X, 0, G', 0" on obtient quatre relations au moyen des-

dy d*Y d*y quelles on trouve la valeur ùey après avoir éliminé ~ > -jp , -rjj •

Si les coefficients de X4 = o sont constants, ceux de X3 = o le seront aussi, et, dans ce cas, la valeur de 0 dépendra de la résolution de l'équation