COMPOSITION DE L' ÉQUATION LINEAIRE AU MOYEN DE SES SOLUTIONS

4° La composition de Xm = o, au moyen de ses intégrales particulières, résulte de l'élimination des constantes r „ c2, . . . , cm entre les équations (46* Leçon, n° 579) :

dy dy. dy. dy„

/r. , dx v dx a d.r "' m dx

dmy dmYx dmY, dMyr

dx" '~~ Cx~ÏLï" "** C'~dx™:~*~' 'J*~Cm~~djr

KOTE m. 353

Or, si l'on écrit le groupe suivant :

"~ • dx { dx " ' m dx

dm y dm y dm y

on aura, au moyen des m dernières équations, les valeurs de c„ c„. . ., cm qu'on portera dans la première, et le résultat sera de la forme c0 à = L, À étant le déterminant ou dénominateur relatif aux m -f-i inconnues c0, c,,.... Si l'on fait c0 = — 1 et X = o, V = o,..., la relation précédente se réduit à A = o, laquelle ne peut être que l'équation différentielle Xm = o. Or, d'après la formation connue du déterminant A, on peut écrire

dmY dm"iY

Xw = A = ^r D +-5/0, +. . .+yHm = o.

D est le dénominateur des m inconnues cp c2, . . . , cm déterminées au moyen des m premières relations du groupe (E), et si Ton considère les indices de la différentiation comme des accents, on passe

dmY du premier terme -y-~ D au suivant en changeant les signes, m en

m — 1 et m — 1 en m. Comme D contient les indices m — 1 qui deviennent m pour la formation de D„ et comme d'ailleurs, en ajoutant un accent ou une unité à chaque facteur de D de même indice, cette fonction s'annule, il est clair que D, est la dérivée complète de D et, par suite, si D est constant, D, = o (observation due à M. Liouville).

En second lieu, si nous mettons la valeur de jr sous la forme

on pourra déterminer les constantes en supposant que pour xni yH

dy d7y dmdY

les coefficients différentiels -j-2-) -—i • • • j — : — 2ont des valeurs

ctr. dxl dxm

assignées; dans cette hypothèse, on trouvera les valeurs des constantes au moyen des m dernières équations du groupe (G), et en désignant le dénominateur commun par D et les numérateurs par N,, N2, . . . , NOT, on aura

Si xa, jrm et les dérivées de ym par rapport à x satisfont à la re- Stlrm. — An.* 11. 2.3

lation y = ^,( x\ ces valeurs dans l'expression de y devront

rendre ^ égal à l'unité, et N„ N3,..., Nm égaux à zéro. Mais

xn, yn et les dérivées pourraient satisfaire à une des relations y= $i(x)i X= Izi*)*-—, et on en déduirait des conséquences semblables. On peut conclure de cela que le numérateur Np, égalé à zéro, est une équation linéaire d'ordre m satisfaite par toutes les intégrales particulières de Xm = o à l'exception àey = $p(x).