DEUXIÈME MÉTHODE DE COMPOSITION
5° analogie d'une équation linéaire avec la puissance d'un binôme.
Xm = o, Xw t = o sont des équations différentielles, telles, que toutes les solutions de la seconde satisfont à la première, si Ton pose
et si l'on détermine /*, z de telle sorte que les deux termes du plus fort indice, au premier membre et dans la première partie du second, soient identiques, R devra être identiquement nul. Sans cela l'équation linéaire R = o, de l'ordre m — a, aurait m — i intégrales distinctes, ce qui est impossible.
Composons par ce procédé une équation d'ordre m} qui réunisse toutes les solutions des équations :
On formera d'abord une équation du second ordre
d'où on déduira
Az = i ou Â* = -,
z sera déterminé par la condition que le second membre soit annulé par les valeurs
dx °X' * e
On exprimera cette condition en égalant z l -£ -h ay ) à une constante, à l'unité par exemple, et on trouvera
, /•= (a-b)e-Sl"t*.
jvote m. 355
Remarquons que 7 est le facteur qui rend le premier membre X,
une différentielle exacte. La fonction du troisième ordre X3 résulterait de la relation
qui devrait être satisfaite ou réduite à zéro par les valeurs
dx" X ' ° ~
Si les solutions de X„ = o sontj,, xyt, .r*/,...., .rm-,j1, en sup-
fly
posant que yx satisfait à -j- 4-^=0, le premier membre Xm se développera ainsi qu'il suit :
v dmr , dm-W , wfw-il/ , dn\dm-2j
m iUfn dx™-1 i.a V ftxJd.iT-^
l . „ da d7n\ dm~*y
Les coefficients numériques de cette expression sont ceux de la puissance m du binôme; les fonctions de a se forment ainsi : à partir du second terme, on obtient la fonction de a relative à un terme quelconque, en multipliant par a la fonction de a du terme précédent et ajoutant à ce produit la dérivée de cette fonction.
Pour démontrer cette formule, nous la supposerons vraie pour Tordre #w, c'est-à-dire que nous admettrons que le développement précédent égalé à zéro est une équation dont les solutions sont 7,, jryp x^,,..., a*-lyt. Écrivons, d'après la même loi, le développement pour Tordre m + 1 que nous représenterons par XOT+(; or, on verra tout de suite que la conjugée première de celte fonction sera 'X^, = (m -h 1) Xm; par conséquent X^+1 = o aura les
mômes solutions que Xm= o, et cela prouvera que Xm+I aura aussi les mômes solutions, et de plus la solution -O',.
Cette seconde méthode de composition a l'avantage de s'appliquer à des équations non linéaires, et de conduire sans aucune difficulté à la théorie des solutions singulières, et à la démonstration de diverses questions de calcul intégral traitées par Jacobi. Les exemples suivants en montreront l'usage.
Considérons une équation linéaire ou non linéaire d'ordre m, XJW= o, et supposons que X,,,., = o soit une équation d'ordre m — 1 , telle, que toute valeur de y en fonction de x qui satisfait à la der-
! 356 corns d'analyse.
nière satisfait aussi à la première : nous pourrons poser l'identité
dans laquelle M est déterminé de telle sorte que les termes d'ordre m soient identiques, au premier et au second membre. La forme de l'identité résulte de ce que les fonctions qui annulent XM et XOT, doivent aussi annuler le reste; nous la mettrons donc sous cette deuxième forme
qui s'accordera avec la première si
Az = M et *$-=N,
dx 7
d'où l'on déduit
= eJ ,n et *=M* J m .
2 sera le facteur qui rendra le premier membre Xn une différentielle exacte. Mais, sans nous arrêter à des généralités qui nous feraient retrouver les résultats que Lagrange démontre dans le calcul des fonctions (i3* Leçon et suiv.), appliquons ce qui précède à l'équation différentielle du second ordre
x, = S-hA*)g+/,(*,rK-o.
Cette équation, dans tous les cas où / f{x)dx sera. exprimable en fonction de x, se mettra sous la forme plus simple
Il suffira pour cela de remplacer y par xe Si l'on connaît une intégrale première
de la dernière équation du second ordre, a étant la constante arbitraire d'une première intégration, on pourra déduire de cette intégrale -y- = uyu étant une fonction de x, j, a. Mais, d'après ce que
KOTE III. 357
nous avons expliqué, nous poserons
dx"
Identifiant, on trouve
fin du dr , x du , du
Les deux premières sont satisfaites en faisant h = 1 , z = 1 ; mais
la dernière ne pourra avoir lieu que dans le cas où le premier
membre sera indépendant de a, qui n'est pas contenu dans ?(.r, y).
Ainsi, la dérivée du premier membre par rapport à a sera nulle;
,du ,du
do. da du du
dx dy ay dot
Considérant la dérivée par rapport à x et celle par rapport à y, lesquelles, d'après l'égalité, sont égales et de signes contraires, on
verra que — est le facteur qui rend dy—udx une différentielle
exacte.
On pourra donc intégrer -r-dy — -7- udx (4a* Leçon, n° 529).
Un second exemple, pris du Mémoire que vient de publier le
géomètre suédois M. Malmsten, ne présente pas plus de difficulté.
tir Supposons qu'on connaisse une intégrale première -f- = u de
€ÂJu
l'équation du second ordre
dans laquelle y' = -,-• Cette équation se met sous la forme
Nous avons marqué d'un trait les dérivées par rapport à x, lorsqu'on ne considère pas y* comme fonction de x. Dans cette relation, et en vertu de l'intégrale donnée, on peut remplacer y' par u et
identifier ensuite le premier membre à
L'identité donne
. d © ( x. it ) . dz
fiz — __LL , k -J-- = o
du dx
(et, par suite, z = 1) ; enGn
d(B\x. ' -\ (du du \ do\x.n) ., x
<fe \dx^djr ) dx YV ^
Si on transpose le terme ^-^ — > le second membre ne ren-
dx
fermera plus a; par suite, le premier sera indépendant de cette
constante, et sa dérivée par rapport à a sera nulle. Cette dérivée
est
Sdo(x,u) dul I du doi J I du du \
du
( du , du da. doc . du dit 1 u -i dx djr djrd-./
^ /dy(~r,tt) <h\ \ du d /
dx
De cette relation on voit clairement que, en prenant pour facteur
doi.r, it\ du d?
du da. du
do l'expression — (d/ — udx) sera intégrable.
L'équation
doiv. r') ...
—àf — S *(*,?)=<>
sera traitée de la même manière; car, après l'avoir développée, elle devient
i d<o(y\ r') dir , da{y.r') ,, .
Remplaçant/' par u et identifiant le premier membre à
on trouve
1 dy{y,u) u du
enfin
1 ci*(y, tt) fou du^ dyjy.rt) u du \dx dy j djr
devra être indépendante de a, ce qui donnera - -^ pour le facteur qui rendra intégrable la fonction du premier ordre, de telle sorte
I do
que - ~- (dy — udx) sera une différentielle exacte. Les équations du troisième ordre :
qui se ramènent aux formes du second ordre quand on élimine dx par la relation dx — —,> ne présentent pas de difficulté.
