REMARQUES SUR LES ÉQUATIONS LINÉAIRES

1. Une équation linéaire Xm= o a m solutions qui peuvent être

dr les intégrales d'équations du premier ordre -j — ay = o. Ces équations, qu'on pourrait nommer les composants de Xm= o, méritent une attention particulière. Jusqu'ici on s'est applique à éviter dans l'intégrale les fonctions imaginaires par une détermination convenable des constantes. Cependant, il est utile, dans certains cas, de les conserver, si on a en vue la simplicité analytique. Ainsi, les solu-

d7r tions en exponentielles de l'équation -y-£ -h y --= o fournissent des

composants à coefficients constants

36o couus d'analyse.

Les solutions réelles Csinx, Ccos-r conduisent à des composants

J+fang*T=o, g-cotxr = o,

à coefficients variables et, par suite, moins simples.

2. L'intégrale complète de XM = o est la somme de m solutions de la forme

11 sera quelquefois possible de discuter la courbe qui représente une solution, sans intégrer l'équation ; cela paratt plus général et plus simple que de discuter l'intégrale complète avec ses constantes déterminées par des conditions particulières. Ainsi, comme on peut toujours faire disparaître le second terme d'une équation linéaire, l'équation du second ordre se ramènera à la forme

__?(*)r=o, de laquelle on déduit, en multipliant par dy,

Dans le cas où f{x) = A9, A étant une constante, la relation se met sous la forme

Or, il n'est pas difficile de prouver que si \fj~Çë] reste comprise entre deux valeurs constantes A', A*, depuis x' jusqu'à X', les intégrales particulières de l'équation

dépendront de deux équations du premier ordre de la forme

telles, que y (jc) sera comprise entre A' et A*.

3. Enfin, les solutions d'une équation linéaire pouvant être considérées comme les intégrales d'équations de la forme

dr . x

» WOTK TTT. 35,

en posant

ydx

on peut concevoir une équation algébrique

[c» — ?l(ar)][p-<p2(.r)]... = o,

dont les racines, ou valeurs de p, conduiront à la valeur de y. Si on donne l'équation algébrique

dont les coefficients sont des fonctions de x, de cette équation on déduira p* et les dérivées -=-? -r-?>--' en fonction de x et des

puissances de p inférieures à m. Si donc on veut former une équation différentielle

^d^ lydx"~l m~K ydx m f

telle, que ses m solutions particulières fournissent des valeurs de — —

égales aux valeurs de e, on posera

et, différentiant plusieurs fois de suite cette relation, on exprimera

dm r dm~x r

— '— » — httvv en fonction de x et des m — i premières puis-

ytUf* ydx"''1

6ances de p. Cette équation du degré m — i devra être identiquement nulle pour qu'elle ne soit pas en contradiction avec l'équation donnée en p du degré m. On aura ainsi des relations qui détermineront blf bJt..., bm. Le calcul est élégant lorsqu'on transforme l'équation p""— Am = o, A étant fonction de x, en une équation différentielle. Si m = 3, cette équation est

On pourrait aussi se proposer de transformer une équation différentielle linéaire en une équation algébrique dont les racines représenter teraient les valeurs de —^- > mais ce problème inverse dépendrait

yax r r

d'intégrations souvent impossibles.

36a cours d'analyse.

SUR LES PROPRIÉTÉS DE QUELQUES FONCTIONS ET SUR LA REPRÉSENTATION DES RACINES DES ÉQUATIONS PAR DES INTERSECTIONS DE COURBES,

par M. E. Promet.

Définitions préliminaires. — Relations entre les dérivées partielles des fonctions P et Q. — Séparation des quantités réelles et des imaginaires dans les dérivées de /(s). — Différences finies et différentielles totales des fonctions P et Q. — Propriétés des courbes P, Q, P-*-Q, P — Q. — Démonstration d'un théorème de Cauchy. — Asymptotes des courbes P, Q, etc. — Théorème sur le nombre des racines des équations algébriques. — Propriétés des surfaces * = P, z = Q. — Remarques.