Relations entre les dérivées partielles du premier ordre
Si l'on suppose que z tienne la place de .r 4-jry — i dans l'identité
et que l'on prenne les dérivées des deux membres, d'après la règle des fonctions de fonctions, on aura
ou
dQ d?
On obtient ainsi deux expressions différentes de /'(s), et en exprimant qu'elles sont identiques on aura les relations
I<W dQ dx ~ dy dy dx
4. Réciproquement, si les relations (a) ont lieu entre les dérivées de deux fonctions
P et Q sont la partie réelle et le coefficient de yj — 1 d9 une fonction
d'une seule variable z, dans laquelle on aurait substitué x -±-y v/— 1 à z.
En effet , posons
w = p-hqv/-~T;
substituons z — y^J — 1 kx dans cette expression, et prenons la
364 COUHS D*ANAT.Y5»F.
dérivée de W par rapport h y; nou9 aurons
dWdVdx dV fdQdx dQ\ r— dy ~ dx dy + dx \dx dy* dy P ''
et comme -f- = — t/— i , il en résulte dy T
dW (dV dQ\ fdQ d?\ .—
Or, le second membre est identiquement nul d'après l'hypothèse.
dW On a donc —7— = o. Ainsi, le résultat de la substitution est indédy
pendant de y, et par conséquent W se réduit à une fonction de 3, qui, par la substitution de x +yy/—\ à s, devient P -4- Q |/^ï.
5. Relations entre les dérivées partielles du second ordre. Les relations (a) étant identiques, on pourra prendre les dérivées des deux membres de chacune d'elles : on obtiendra ainsi
dxx dxdy'
dxdy~ dy2 '
dx* ~~ dxdy'
dxdy~ dyÂ
d'où résultent les relations
1 dx* ~
dx* dy%
Réciproquement, si l'une des relations (3) est vérifiée par une fonction P , il sera possible de trouver une seconde fonction Q telle,
que P et Q résultent de la substitution de x-\-y /— 1 à la place de z dans une certaine fonction ? (z).
-r- dy, on aura
dy~ dx' dx~J dx2 X ~ J dy2 * "~ dy'
Ainsi, les relations (a) sont vérifiées par les fonctions P et Q, ot par suite, il existe une fonction <p (s) telle, que Ton a identiquement
wotr iv. 365
6. Relations générales entre les dérivées partielles de P et celles de d.
On tire des équations (a), en les différentiant k — i fois par rapport à x, et n — k -+- i fois par rapport à jr,
dnV daQ
dj*dy*-k dz*~l dy»-™
dx* dy*~k ~~ do*-1 df-k+i
7. Relations entre les dérivées partielles de P ou de Q. On tire des équations (3) par la différentiation
da*dy*-k ~~ dx*-' djn-k+s'
Ces équations expriment une propriété commune aux deux fonctions P et Q. En y faisant successivement k = n, n — i, /i — 4, . . . , puis X* = n — i , n — - 3, n — 5, . . . , on obtient :
dn? d*V d»T> d"P
dx*
djcr-^dy* dx«-*df
dx»-*dy*
dnV dnV
rlaP
dx"-xdf~
cLf-'df ~~ dxT-^df9 ~
djr-'dy1
dnQ dnQ
dHQ
dx* ""
cbf-'df1 ~~ dx"-'ay* ~
dx*-bdf«
dnQ rlnQ
dnQ
dx^-'dy djf-'df cW^dy* djf^dy*'
Ainsi, toutes les dérivées partielles de P ou de Q d'un même ordre , dans lesquelles V indice de différentiation relatif à une même variable est en même temps pair ou impair, sont égales en valeurs absolues.
Et si Pon range ces dérivées suivant un ordre de grandeur de cet indice, les signes -f- et — se succéderont alternativement.
SEPARATION DES QUANTITÉS REELLES ET DES IMAGINAIRES DANS LES DERIVEES DE f(z).
8. En différentiant par rapport à x les deux membres de l'identité j [z) = P+ Q y/- J, nous avons trouvé
J W - dx ■ dxV \
366 cours d'anàlïse.
Cette formule fait voir que pour obtenir la partie réelle et le
coefficient de \J — i de la dérivée d'une fonction, il suffit de prendre les dérivées par rapport à x des parties analogues de cette fonction. En prenant n fois de suite la dérivée par rapport à *, on
trouve
d*P dnO
On peut donner à cette expression deux autres formes et n'y employer que la fonction P ou la fonction Q. Il suffît d'y remplacer d'Q dnV d'V dnQ
d? par - ~d^d^ ou a? par dï~dy ce «U1 esl p6™18
d'après les relations (4). On aura ainsi
€tX*-l€ty djf*
