P ET Q

9. Les propriétés précédentes permettent de développer les accroissements des fonctions P et Q suivant les accroissements de leurs variables.

Si dans f(z) on change zen f z -+- A.r 4- A^ y/^T), on aura

En posant

A.r -J- kyyfZTi — r (cosô -f yf^i sinô),

nous aurons, par la formule de Moivre,

(\x 4- Aj ]/- 1)" =■ r* (cos/*9 4- \J — i sin/îO), D'ailleurs la première formule (7) donne

donc on a

û/(z) = AP -+- AQ /^T

et, en séparant les parties réelles et les parties imaginaires,

vi r" ///"P dnV \

10. Si l'on suppose Ax et A/ infiniment petits, le terme général de chaque développement devient la différentielle totale du nùmt ordre de P ou de Q, divisée par le produit 1.2. 3.../?. On aura donc, en appelant o> la limite de l'angle Q, et en observant que

r = y/dx^-ï-dy* = dfy/i-hvul1** J

sinw rf'«P dnV

rfvn

rf"P . rf"P