PROPRIÉTÉS DES COURBES P ET Q. — POINTS MULTIPLES

11. Pour abréger, nous appellerons courbe P, courbe Q, les courbes représentées par les équations P = o, Q = o. Nous supposerons que le système d'axes auquel on les rapporte est rectangulaire.

Une propriété remarquable de ces courbes est d'avoir chacune un point multiple de Tordre n, toutes les fois que l'équation primitive/) z) = o a/2 racines égales entre elles. Pour le démontrer, il faut faire voir : i° que les fonctions P et Q s'annulent avec leurs dérivées partielles jusqu'à l'ordre n — • 1 inclusivement quand on y substitue les coordonnées d'un point-racine de l'ordre n ; i° que chaque courbe possède en ce point n tangentes distinctes.

12. Premièrement, quand /(a) a n racines égales à .r-h/t/— 1, on doit avoir, 1 désignant un nombre au plus égal à n ,

/.(x+rvcrr)=___:r-v/1 = o,

celte équation entraîne les deux suivantes :

dx* ="~0' d^'xdy"°'

Il résulte de là et des relations (6) que toutes les dérivées de P de l'ordre i sont nulles, et comme / est compris entre o et n — i , il et t donc démontré qu'en chaque point- racine de Tordre n toutes les dérivées partielles de P s'annulent jusqu'à l'ordre n — t inclusivement. — Môme démonstration pour la fonction Q.