En second lieu, les courbes P et Q ont chacune, au point

(x, j), n tangentes distinctes.

Considérons d'abord la courbe P.

On obtiendra le coefficient angulaire -j- = tango* de la tangente

menée à la courbe par le point (x, j), en égalant à o la différentielle totale du ntiHM ordre. D'après la formule (9) , l'équation qu'il faudra poser sera donc

d"P dnV

7&œsn» + d^TrSmn«

sin"&>

Le dénominateur de cette équation n'est jamais supérieur à l'unité, et il ne peut devenir nul en même temps que le numérateur qu'autant qu'on a

Mais ce cas peut être écarté , car il suffit, pour l'éviter, de changer

<7"P la direction des axes de coordonnées. Donc si l'on suppose -^ \ o,

on aura toutes les solutions de cette équation en posant

et si l'on fait

tang/zw = —

da?~ldjr

dnV

tangf*= —

dr"

dnF '

on aura

d'où

dj?'xdy

(il) « = - -+■ A* - •

Pour avoir toutes les tangentes à la courbe P, il suffît de donner à n les valeurs o, i,a, . . . , n — 1, et Ton obtient n valeurs de 0,

formant une progression arithmétique dont la raison est - • Donc

la courbe P présente, au point considéré, n tangentes distinctes et tellement disposées, que deux tangentes consécutives comprennent un angle égal à la rt**" partie de deux angles droits.

44. 11 importe de remarquer qu'un point- racine de Tordre n ne peut être un point d'arrêt ou un point isolé, pour aucune branche de la courbe P, du moins dans le cas où la fonction P est continue. En effet, l'équation qui donne tangw ayant toutes ses racines inégales, on voit facilement, en développant P par la série de Taylor, que cette fonction changera de signe quand on y substituera successivement les coordonnées de deux pointe suffisamment rapprochés du point N, et situés de part et d'autre d'une même tangente.

15. Un calcul analogue à celui que nous avons fait pour la courbe P assignerait aussi à la courbe Q, en tout point-racine de Tordre //, n tangentes distinctes et tellement disposées, que deux tangentes

consécutives comprennent un angle égal à -• On peut déjà en conclure qu'entre deux tangentes consécutives à la courbe P il y a toujours une tangente à la courbe Q. Mais je dis de plus que :

Les tangentes à la courbe Q sont les bissectrices des angles formés par les tangentes à la courbe P.

Pour le démontrer, rappelons-nous la formule

tlx*

(10) tang/i» = jïp

dx*~l dy

En appelant v l'angle qu'une tangente à la courbe Q fait avec Taxe

des x, nous aurons de même

(12) tang«u= —

dxH dHQ

Or, d'après les relations (4 ),

dx*~x dy

d*Q dnV ' dx» ~~ . dx^d^

dx'l-{dy "

dnX> axl

donc

tang/2fr>lang*"= — 1;

Stlhm. — An.y II.

w — u est l'angle compris entre une tangente à la courbe P et une tangente à la courbe Q la plus voisine, et l'équation (i3) montre que cet angle, abstraction faite du signe, est la moitié de l'angle

- compris entre deux tangentes consécutives à la courbe P.

16. Les résultats précédents comprennent le cas particulier d'un

point-racine simple. En un point de cette espèce, l'angle — formé

par la tangente à la courbe P et la tangente à la courbe Q se réduit

à -• On peut d'ailleurs l'établir directement. Ainsi :

En un point-racine du premier ordre les courbes P et Q se coupent à angle droit.

Cette propriété appartiendrait encore aux courbes représentées

par les équations

À et B étant deux constantes quelconques.