PROPRIÉTÉS DBS COURBES DONNÉES PAR LES ÉQUATIONS P - Q = O, P4-Q

17. La courbe qui a pour équation P — Q = o est le lieu de tous les points dont les coordonnées, substituées dans les fonctions P etQ,

donnent des résultats égaux et de même signe. En chaque point de

cette courbe le rapport ~ est égal à 1.

La courbe qui a pour équation P 4- Q = o est le lieu de tous les

points dont les coordonnées, substituées dans les fonctions P et Q,

donnent des résultats égaux et de signes contraires. Le rapport jt

y est constamment égal à — 1 .

Les courbes P — Q, P-f- Q jouissent des mômes propriétés que les courbes P et Q, et il suffît pour le démontrer d'observer que les fonctions

sont la partie réelle et le coefficient de f—i de la fonction

(i-h/zt)/(,) = (i+l/=7) (p + Qv/it;)

D'ailleurs p et q s'annulent évidemment avec leurs dérivées jusqu'à Tordre n exclusivement, quand on y substitue les coordonnées d'un point-racine de l'ordre n; d'où il suit que :

En un point-racine de l'ordre n:

\° La courbe P — Q a n tangentes distinctes dont c/iacune fait

avec celle qui la suit un angle égal à — $

20 Lu courbe P -f- Q a aussi n tangentes distinctes qui sont les bissectrices des angles formés parles tangentes à la courbe P — Q.

18. Pour construire les tangentes à nos deux nouvelles courbes il suffit de connaître l'angle qu'une tangente à Tune d'elles fait avec une tangente à la courbe P.

Soit tang/zs le coefficient angulaire d'une tangente à la courbe P — Q : on a trouvé plus haut

dn?

do*

(10) tang/zw = —

dnP

dxH~x dy à cause de la symétrie du calcul, on aura aussi

d*p (t.rf*

(14 ) tang/ie = —

dHp

dx*~l dy

Mais

dnp dnV __ rPQ d^?

daP

dx" dx* eus* dx" ^ dxn'ldy1

dnp __ dttV daQ d"? dnPt

dx"~ldy "~ dx"~ldy ~~ dxH-ldy ~~ dxu~ldy dx* '

donc

dHV dnV

de* ~*~ dx*~x dr — f tans n m -f- \) A

= tan»

d'où

dxa~

'dy

dttP~ dx*

— 1 — tang/iw

De là résulte que si l'on construit, comme au /i°14, les tangentes aux courbes P et Q, et que si l'on désigne respectivement les angles consécutifs formés par ces tangentes par les nombres

les bissectrices des angles de rang pair seront les tangentes à la courbe P 4- Q. Les bissectrices des angles de rang impair seront les tangentes à la courbe P — Q.