DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE M. CAUCHT
19. Traçons autour d'un point-racine N, de Tordre n, un cercle assez petit pour que dans son intérieur les courbes P, Q, P — Q, P -4- Q se confondent sensiblement avec leurs tangentes, et, par suite, ne puissent s'y couper mutuellement ailleurs qu'au point N. Un point mobile M qui parcourra la circonférence dans le sens direct de rotation, c'est-à-dire en allant des x positifs aux y positifs, devra rencontrer a n fois chacune des quatre courbes, et toujours dans Tordre suivant :
..., P-Q, P, Ph-Q, Q, P-Q, P, ....
Concevons qu'à chaque position du point mobile on substitue ses
coordonnées dans le rapport ~ • De la courbe P — Q, où ^ est posi-
tif (1 7) , le point M passe sur la courbe P, où ^ s'annule, et de là immé-
diatement sur la courbe P -h Q, où ^ est négatif. Donc chaque fois
que le point M traverse la courbe P, le rapport ^ passe du positif
au négatif. Ce rapport passe, au contraire, du négatif au positif chaque fois que le point M traverse la courbe Q. Donc lorsque le point mobile sera revenu à sa position initiale
après avoir rencontré in fois la courbe P et 2/2 fois la courbe Q, le
rapport ^ aura passé a n fois du positif au négatif en s'évanouissant,
cta/i fois du négatif au positif en devenant infini.
Si au lieu d'un cercle ou d'un contour convexe on trace une courbe fermée très-petite, qui présente des sinuosités, le point mobile pourra traverser plusieurs fois chaque portion de la courbe P, mais il devra la traverser une fois de plus dans le sens direct que dans, le sens rétrograde, puisqu'il deit revenir à sa position initiale. Donc,
pour chaque portion de la courbe P, le rapport ^ passera une fois
de plus du positif au négatif que du négatif au positif, et quand le point mobile sera revenu au point de départ, ce rapport aura passé en s'évanouissant in fois de plus du positif au négatif que du négatif au positif. Au contraire, ce rapport aura passé en devenant infini a n fois de plus du négatif au positif que du positif au négatif.
Ainsi se trouve démontré, pour un cas particulier, un théorème remarquable dû à M. Cauchy, et dont voici l'énoncé :
Le nombre des points- racines situés dans r intérieur a" un contour fermée en supposant quil nes9en trouve aucun sur ce contour même,
est égal à la demi-différence entre le nombre des variations ( * )
P descendantes et celui des variations ascendantes du rapport -^ > pour
toute détendue du contour supposé parcouru dans le sens direct de rotation.
20. Du cas particulier que nous venons d'examiner, on s'élève au cas général par les considérations suivantes, empruntées à un Mémoire de MM. Sturm et Liouville [Journal de Mathématiques, 1. 1, p. 378) :
« Soit A l'excès du nombre des variations descendantes sur ie
nombre des variations ascendantes du rapport -^ j pour un contour qui
renferme ja racines. Il faut démontrer que l'on a ja= -A. Or,
a i° Le théorème est évident pour un contour quelconque ABC, lorsque dans l'intérieur de ce contour et sur le contour même on n'a jamais P = o ; alors, en effet, les deux nombres p. et A sont tous les
deux nuls, et par suite l'équation ja = - A est satisfaite.
» Elle est satisfaite encore lorsque dans l'intérieur du contour ABC, et sur ce contour même, on n'a jamais Q = o ; le nombre p est alors encore égal à zéro, et je vais prouver que Ton a aussi A = o. En
effet la fraction fp quand on aura fait un tour entier pour revenir
au point de départ A, devra se retrouver en ce point affectée du même signe que d'abord elle possédait, quand le mouvement a commencé : donc cette fraction doit changer de signe un nombre pair
(•) J'appelle variation ascendante le changement de signe d'une quan • tito qui passe du négatif au positif en s'évanouissant. Une variation descendante est le contraire.
de fois, toujours en s'évanouissanl, puisque son numérateur seul peut devenir nul, et en passant alternativement du positif au négatif et du négatif au positif : donc enfin l'excès A du nombre de fois où elle va du -f- au — sur le nombre de fois où elle va du — au -4en s'évanouissanl, est égal à zéro; ce qu'il fallait prouver.
» 20 Quand le théorème de M. Cauchy a lieu pour deux contours ABCA, ACDA qui ont une partie commune AC, il a lieu également
pour le contour total ABCDA formé par leur réunion. En effet,
l'excès A du nombre de fois où ^ s'évanouissant passe du -h au —
sur le nombre de fois où cette fraction en s'évanouissant passe du — au + est le même, soit qu'on parcoure le contour total ABCDA, soit qu'on parcoure successivement les deux contours ABCA, ACDA, puisqu'à chaque passage du + au — ou du — au -h, qui a lieu quand on va sur le côté AC de C en A, répond un passage inverse du — au + ou du H- au —, quand on va sur le même coté de A enC. Or, en supposant que le nombre des racines soit égal à p' dans le contour ABCA, et à p." dans le contour ACDA, on a A— ap' pour le premier de ces contours, et A = 2 p" pour le second, puisque le théorème de M. Cauchy est supposé applicable à l'un et à l'autre, d'après ce qu'on vient de voir : il résulte de là que, pour le contour total ABCDA, on a A = 2(^*4- p") ; donc le théorème de M. Cauchy est vrai pour le contour ABCDA qui renferme f*'-4- /** racines.
» Si l'on considère un nombre quelconque de contours juxtaposés, pour chacun desquels ce théorème ait lieu, il aura lieu également pour le contour total formé par la réunion de ces contours: c'est ce qu'on verra en réunissant ces contours successivement deux à deux, comme on peut le faire d'après ce qui vient d'être démontré.
» 3° Étant donné un contour quelconque ABC, on peut toujours le concevoir divisé : I. En contours convexes tracés autour de chaque racine contenue dans l'intérieur de ABC, assujettis aux conditions énoncées n° 19 ; II. En contours semblables à ceux dont on a parlé (i°), c'est-à-dire pour lesquels on n'a jamais à la fois P = o, Q = o. Le théorème de M. Cauchy ayant lieu pour les diverses parties dans lesquelles on divise le contour ABC, aura lieu pour ce contour même ABC, dont la forme est arbitraire.
» Ce théorème est donc entièrement démontré.
» Toutefois, nous excluons formellement le cas particulier où, pour quelque point de la courbe ABC, on aurait à la fois P = o, Q = o: ce cas particulier ne jouit d'aucune propriété régulière, et ne peut donner lieu àaucun théorème; car, dès qu'on l'admet, l'excès A peut varier avec la forme du contour sans que le nombre p varie; de sorte qu'il n'existe alors entre /x et A aucune relation constante. »
ASYMPTOTES DES COURBES P, Q, P — Q, P4~Q, DANS LE CAS OU P ET Q SONT DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET ENTIÈRES. — THÉORÈME SUR LE NOMBRE DES RACINES DUNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE.
21 . Soit une équation algébrique et entière de degré /w, A^) = (Ai + B0v^T)^4-(Al4-B1v/"=7)^-|-+-...
si nous posons
z = x 4- y v/~ j = r (cosw 4- y/— isinw),
A» 4- B,/1^ -= p. (008^4- /^sinaj, nous aurons
= prm[cos(a 4- /««) 4-/— isin(a -4- m»)] ^plrm-|jcos[xl-f-(///--i)oi]4-v/r:r^s»n[2|4-(/w — i)w]|4--..,
d'où
P = prmcos(a-+- ww) 4-plrm~lC08[al 4- (//? — i)wj
-h p, /m-,cûs [a, 4- ( m — a) w J -h . . . , Q = p/-OTsin(a 4- ///&>) 4- p, r^'sinfa, 4- (///— i) 6>J 4- p2 rJ"~asin[a1 -4- (//? — 2)w]-h. . ..
Les polynômes P et Q ainsi définis, nous allons chercher les asymptotes des courbes données par les équations P = o, Q = o.
22 Les coefficients angulaires des asymptotes d'une courbe algébrique de degré m s'obtiennent en égalant à o la somme d ;s termes de son équation qui sont du mc'mt degré, après y avoir fait x = rcosw, tY = rsinw.
Or, les termes du ///'""degré dans les polynômes P et Q proviennent
évidemment de la substitution de .r-h/y7— i à la place de z dans
le terme ( A0 4- Bgv/-- T) zmde l'équation f(z) = o. Donc, si réservant w pour désigner l'angle qu'une asymptote à la courbe P fait avec Taxe des x, on appelle v l'angle analogue relatif à la courbe Q, on obtiendra » et v en posant
pr",cos(a-+-/wa>) = o, pr™ sin (a 4- mv) = o,
d'où l'on tire
, . a.,7rÉi7r aifir iir
3^6 cours d'akai.ysr.
23. Quand l'équation d'une courbe du degré m est telle, qu'on puisse faire disparaître les termes du (m — \)Centt degré en posant jc = x' -+- xt% y = y -+-yx> on sait que toutes les asymptotes de cette courbe passent par le point (xiyyt).
Les courbes P et Q sont dans ce cas.
En effet, si dans l'équation /(z) = o on fait 3= z'+j^-j- yx v;— j * il suffira, pour faire disparaître le terme en z,m'\ de poser
A, -*-B, \/~ m A, -h b0 ^ j ou bien, séparément,
T ' AaA,-4-B0Bt t A0B,-A,B,
/« AJ-i-BJ ' Jl m AJ4-BJ
La transformée en z' n'ayant pas de termes du [m — i)lim- degré, les polynômes P,, Q,, analogues à P et à Q, que l'on déduit de cette
transformée en posant 2' = x'-i-/^--h n'auront pas non plus de termes de ce degré.
Mais il est évident que P, et Qt sont ce que deviennent P et Q quand on y fait x = x'-\- x,, y =y + yr Ainsi, les polynômes P et Q perdent leurs termes du degré m — î par ce changement de variables, et, par suite, toutes les asymptotes des courbes P et Q passent par le point (*,,/,).
24. Des formules (16) il résulte : i° que les deux courbes P et Q ont chacune m asymptotes distinctes ; a° que deux asymptotes
consécutives de l'une d'elles comprennent un angle égal à — >
dont la bissectrice est une asymptote de l'autre courbe (*").
La construction des asymptotes est donc la même que celle des tangentes en un point-racine de l'ordre n.
Les équations qui donnent tangw et tangv n'ayant que des racines inégales, les asymptotes ainsi obtenues sont bien réelles et s'approchent indéfiniment des courbes P et Q, tant du côté de Tinfini positif que du côté de l'infini négatif.
25. Les courbes P — Q, P 4- Q ont aussi chacune m asymptotes qui passent par le point (xn yx). Leur position par rapport aux asymptotes des courbes P et Q est la même que celles des tangentes n° 18. Il résulte de là que si du point (xk,yt) on déorit
(*) Ces propriétés des asymptotes ont été remarquées par Gauss et publiées par lui, en 1799, dans une thèse intitulée : Demonsiratio nova theorematisomnemfonctionem algebraicam rationalem intégrant unius variabilis injactoits reaies primi vel secundi gradus taolvi posse. Helmstadii.
un cercle assez grand pour que, près de sa circonférence, les courbes se confondent sensiblement avec leurs asymptotes, un point mobile, parcourant ce cercle dans le sens direct de rotation, rencontrera a m fois chacune des quatre courbes, et toujours dans Tordre suivant :
..., P-Q, P, P-hQ, Q, P-Q,....
Par conséquent, la différence entre le nombre des variations des-
cendantes et celui des variations ascendantes du rapport -?? sera
égale puur ce contour à a m. Le nombre des points-racines qu'il renferme est donc égal à m, et comme au delà les courbes ne peuvent pas se couper, on en conclut que toute équation algébrique et entière, de degré m, h coefficients quelconques, admet
m racines de la forme <x -+- £y/— 1 .
