Si dans l'intégrale définie

/(«)</• = air/(o),

où u tient la place de x 4- y y/— 1 — r (cosô -h y/--îsinô), on suppose f( u) de la forme <p (u) 4- V ( u ) y^T, * («) et Y ( u) étant des fonctions réelles de w, on aura séparément :

f Prfô = 27r<p(o), / QdQ— awY(o), o Jo

P et Q ayant toujours la même signification, mais devant être considérées comme des fonctions réelles de rsindet de rcosO. Voici une conséquence remarquable de ces formules : Soit V le volume d'un corps compris entre la surface z = P, le plan xjr et un cylindre droit ayant pour axe Taxe des z et r pour rayon. On aura

V== / lrPdrdQ= / rdQ / PrfQ = air*(o) / rtlr, J J Jo Jo Jo

et enfin

V=7rr2*(o).

Ainsi le volume considéré est égal à celui d'un cylindre ordinaire, de môme base et ayant pour hauteur * (o). En appelant U un volume analogue, dans lequel la surface z = Q

remplacerait la surface z — P, on aurait de même

U=7rr2T(o).

Dans le cas où la fonction f(u) est réelle, ce volume est constamment nul.