REMARQUES

27. Les courbes données par les équations P = o, Q = o, ne sont pas les seules qui puissent servir à représenter par leurs intersections les racines de l'équation f(z) = o. En effet, on ne change pas les racines de cette équation en multipliant son premier membre par une constante réelle ou imaginaire. Or, le premier membre de l'équation

se changera pour z = x 4- y y/^ï en

aP - bQ + (b? H- aQ) v/^T,

et les courbes données par les équations

P, = flP-£Q = o, Qt = bP + aQ = o

se couperont aux points-racines de la proposée. Les courbes P, et Q, jouissent des mêmes propriétés que les

courbes P et Q, et si Ton ajoute à cette remarque, qu'en chaque

point de la courbe P, le rapport ■=- est égal à -> on aura deux

théorèmes, qui pourront s'énoncer d'une manière abrégée comme

il suit :

p Le rapport —r a la même valeur à tous les sommets d'un polygone régulier infiniment petit de in côtés, dont le centre est un

point-racine de Vordre n.

p Le rapport -^ a la même valeur à tous les sommets d'un polygone régulier infiniment grand de a m côtés dont le centre est le point de concours des asymptotes. — Le dernier théorème n'a lieu que dans le cas où P et Q sont des fonctions algébriques et entières de degré m.

28. Tous les théorèmes démontrés dans cette Note ne s'appliquent qu'aux fondions que M. Liouville appelle bien déterminées^ c'est-àdire à celles qui ne prennent qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable z = x-h y\f— i, et qui varient d'une manière continue quand le point (x, y) se déplace suivant une courbe quelconque.

uote v. 3 79