FORMULE FONDAMENTALE

1 . Soient f(x) une fonction quelconque et n un nombre entier positif. Proposons-nous de trouver une fonction <f(n) telle, que l'on ait

(i) y(*) =/(*) -*-/(*+ h) +f{x+*h) -K ..4-/[x + (/!-!)//]. Posons

Il en résultera

(3) r (iz -M) - ?(/i) = f{x 4- «/*},

(4) *(*-f-i)-+(n)=ir(*+^).

La fonction 7 doit satisfaire à l'équation (3) pour des valeurs entières de n ; mais il est clair que cette condition sera remplie à plus forte raison, si Ton obtient une fonction <p telle, que l'équation (3) soit satisfaite pour toutes les valeurs que l'on mettrait à la place de n. Alors l'équation (3) est identique. On pourra donc prendre les dérivées des deux membres par rapport à /?, et l'on aura

(5) f'{n + i)-f{n) = hf{x + */i)9

et, en comparant avec l'équation (4),

Si maintenant nous changeons successivement n en/z-i-ij/i-r-a,..., /1 -h /*, nous aurons, en ajoutant les résultats,

oa bien

(7) *'(») — *♦(») = *'(* + *) -/nH*H-*).

Le premier membre de cette égalité est indépendant de k ; donc il doit en être de même du second : mais ce dernier est une fonction de n -+- A, et il ne peut pas être indépendant de k sans l'être de a. Donc l'égalité (7) sera satisfaite si Ton pose

c désignant une constante, c'est-à-dire un nombre indépendant de /?. En désignant ?(/i) par Sf(x) et ty(n) par S/'(x), on aura

^S/(*) = /iS/'(.r) + c, et en intégrant, (I) Sf(x)=hfsf'(x)dn + cn,

formule qui fait dépendre la sommation de la fonction f(x) de la sommation de sa dérivée. On n'ajoute pas de nouvelle constante , parce que Sf(x) doit être nulle pour n = o.